Niels Henrik Abel - Définition

Déception à Paris

Encore inconnu, Abel ne parvient pas à entrer en contact avec les mathématiciens dont il a lu les livres, Adrien-Marie Legendre, Siméon Denis Poisson et Augustin Louis Cauchy. Au sujet de ce dernier, il écrit à Holmboë : « Cauchy cultive l'extravagance, il est impossible de s'entendre avec lui, et pourtant il est celui qui sait le mieux comment il faut faire des mathématiques ». Pour se faire reconnaître, Abel dépose à la fin du mois d'octobre auprès de l'Académie des sciences un mémoire intitulé Recherches sur une propriété générale d'une classe très large de fonctions transcendantes. Ce travail aboutit à une formule générale pour additionner deux intégrales elliptiques. Le rapporteur désigné, Cauchy, impressionné par la longueur du mémoire et la technicité du contenu, en remet la lecture à plus tard. Dans l'attente d'une invitation qui ne viendra pas, Abel peut lire une nouvelle édition augmentée du Traité des fonctions elliptiques de Legendre. Il rédige deux articles pour le Journal de Crelle intitulés Recherche sur les fonctions elliptiques publiés en 1827 et 1828. Lassé et à court d'argent, il quitte finalement Paris en décembre 1826.

Séjour en Allemagne

Au cours de l'été 1825, il partit pour Copenhague et de là arriva à Altona, où il rencontra l'astronome Heinrich Christian Schumacher, ami de Gauss. L'hiver suivant, il est à Berlin où il fait la connaissance de Crelle, qui sollicite sa collaboration pour un nouveau journal de mathématiques : le Journal de Crelle. En l'espace de quatre mois (novembre 1825-février 1826), Abel rédige six articles, dont :

• Beweis der Unmöglichkeit der algebraischen Auflösbarkeit der allgemeinen Gleichungen, qui contient la preuve de l'impossibilité de l'équation du cinquième degré par radicaux ;
• Über die binomische Reihe, où se trouve énoncé et démontré le critère de sommabilité d'Abel sur les séries semi-convergentes.

En mars 1826, Abel quitte Berlin et par Freiberg, Dresde, Vienne et Venise, rejoint Paris, but de son voyage, au mois de juillet.

Dernières recherches

De retour à Christiana, Abel ne peut obtenir de poste stable à l'université, et doit accepter un travail de répétiteur dans une académie militaire récemment créée. Quelques mois seulement après son retour, il contracte la tuberculose. C'est à ce moment que Jacobi publie ses premiers résultats sur les intégrales elliptiques : d'abord un théorème sur les transformations rationnelles dans ces intégrales, puis une formule d'inversion. En mai 1828, Abel généralise le résultat de Jacobi sur les transformations rationnelles. Ce dernier est enthousiaste et fait à Legendre l'éloge d'Abel.

À la fin de 1828, l'état de santé d'Abel se dégrade rapidement et il ne peut plus écrire. Il meurt le 6 avril suivant.

Abel est à l'origine de la notion de nombre algébrique (solution d'une équation polynomiale à coefficients rationnels). Il a aussi laissé de nombreux résultats sur les séries et les fonctions elliptiques. Abel reçut à titre posthume le grand prix de mathématiques de l'Institut de France en 1830. Il a donné son nom au prix Abel.