Nombre ordinal - Définition
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Introduction
En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque. Comme, en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession, Georg Cantor a été amené (lors de ses travaux sur les séries trigonométriques) à nommer de même le concept qu'il avait introduit à cette occasion pour caractériser le type d'ordre des ensembles qu'il rencontrait, de façon plus précise qu'en les mesurant par leur cardinalité (leur « nombre d'éléments »). Les ordinaux finis peuvent en fait être identifiés aux entiers naturels qui s'identifient eux-mêmes aux cardinaux finis, mais, dans le cas des ensembles infinis, ce n'est plus vrai : tous les cardinaux sont encore identifiables à des ordinaux, mais la réciproque est fausse.
Introduction
Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts : décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux cardinaux (un, deux, trois,...) et ordinaux (premier, deuxième, troisième, ...) et sont très semblables. Cependant, dans le cas infini, on est amené à distinguer nombre cardinal et nombre ordinal.
Si la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure particulière, les ordinaux sont intimement liés à un ordre sur les éléments de cet ensemble, et plus précisément à un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné est un ensemble dans lequel toute partie non vide admet un plus petit élément. Le plus petit élément de l'ensemble peut être numéroté 0, le suivant 1, le suivant 2, mais dès que l'ensemble est infini une notation adaptée est nécessaire pour désigner judicieusement tous les éléments de l'ensemble.
Considérons par exemple l'ensemble des couples d'entiers positifs ou nuls ordonnés selon ce qu'on appelle l'ordre lexicographique :
On peut imaginer une technique de « numérotation » des éléments de cet ensemble ordonné :
On dira que (0,0), (0,1), (0,2), (0,3) etc. occupent respectivement les positions 0, 1, 2, 3, etc.
(1,0) est le plus petit élément se trouvant après une infinité d'éléments. On convient de noter ω sa position.
(1,1) est l'élément qui suit ω ; sa place sera indexée ω + 1, etc.
(2,0) est le plus petit élément se trouvant après une double infinité d'éléments. Il occupe la position ω + ω, aussi notée ω2. Plus généralement (n,0) occupe la place ωn. Si on disposait des éléments supplémentaires à la suite des éléments précédents, ils se trouveraient après une infinité d'infinis, et on noterait ω2,ω2 + 1 et ainsi de suite les positions occupées.
Par exemple, si au lieu de couples on avait utilisé des triplets ou même des n-uplets (a1,a2,...,an-1 ,an) d'ordre quelconque, de façon générique on noterait ωn − 1a1 + ωn − 2a2 + ω.an − 1 + an les positions occupées.
La théorie des ordinaux permet, entre autres, de donner un sens précis à cette numérotation heuristique des éléments d'un ensemble bien ordonné.
