Nombre ordinal - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque. Comme, en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à préciser le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du...) d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...) dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession, Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie...) a été amené (lors de ses travaux sur les séries trigonométriques) à nommer de même le concept qu'il avait introduit à cette occasion pour caractériser le type d'ordre des ensembles qu'il rencontrait, de façon plus précise qu'en les mesurant par leur cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une extension de...) (leur « nombre d'éléments »). Les ordinaux finis peuvent en fait être identifiés aux entiers naturels qui s'identifient eux-mêmes aux cardinaux finis, mais, dans le cas des ensembles infinis, ce n'est plus vrai : tous les cardinaux sont encore identifiables à des ordinaux, mais la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse.

Introduction

Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts : décrire la taille d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...), ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux cardinaux (un, deux, trois,...) et ordinaux (premier, deuxième, troisième, ...) et sont très semblables. Cependant, dans le cas infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier...), on est amené à distinguer nombre cardinal (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre...) et nombre ordinal.

Si la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure particulière, les ordinaux sont intimement liés à un ordre sur les éléments de cet ensemble, et plus précisément à un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné est un ensemble dans lequel toute partie non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) admet un plus petit élément. Le plus petit élément de l'ensemble peut être numéroté 0, le suivant 1, le suivant 2, mais dès que l'ensemble est infini une notation adaptée est nécessaire pour désigner judicieusement tous les éléments de l'ensemble.

Considérons par exemple l'ensemble des couples d'entiers positifs ou nuls ordonnés selon ce qu'on appelle l'ordre lexicographique :

(0,0) \;\triangleleft\; (0,1) \;\triangleleft\; (0,2) \;\triangleleft\; (0,3) \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; (1,0) \;\triangleleft\; (1,1) \;\triangleleft\; (1,2) \;\triangleleft\; (1,3) \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; (n,0) \;\triangleleft\; (n,1) \;\triangleleft\; (n,2) \;\triangleleft\; (n,3) \;\triangleleft\; \ldots
Représentation graphique de l'exemple. La série de barres de gauche correspond aux couples commençant par 0, la suivante aux couples commençant par 1, etc.

On peut imaginer une technique de « numérotation » des éléments de cet ensemble ordonné :

On dira que (0,0), (0,1), (0,2), (0,3) etc. occupent respectivement les positions 0, 1, 2, 3, etc.

(1,0) est le plus petit élément se trouvant après une infinité d'éléments. On convient de noter ω sa position.

(1,1) est l'élément qui suit ω ; sa place sera indexée ω + 1, etc.

(2,0) est le plus petit élément se trouvant après une double infinité d'éléments. Il occupe la position ω + ω, aussi notée ω2. Plus généralement (n,0) occupe la place ωn. Si on disposait des éléments supplémentaires à la suite des éléments précédents, ils se trouveraient après une infinité d'infinis, et on noterait ω22 + 1 et ainsi de suite les positions occupées.

Par exemple, si au lieu de couples on avait utilisé des triplets ou même des n-uplets (a1,a2,...,an-1 ,an) d'ordre quelconque, de façon générique on noterait ωn − 1a1 + ωn − 2a2 + ω.an − 1 + an les positions occupées.

La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des ordinaux permet, entre autres, de donner un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) précis à cette numérotation heuristique (L'heuristique (du grec heuriskêin, « trouver ») est l'utilisation de règles empiriques :) des éléments d'un ensemble bien ordonné.

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