Nombre premier de Gauss - Définition

Introduction

Ouvrage traitant des entiers de Gauss 1801.

En mathématiques et plus précisément en algèbre, un nombre premier de Gauss est une notion de théorie algébrique des nombres concernant les entiers de Gauss.

Un nombre premier de Gauss correspond au concept de nombre premier dans l'anneau des entiers de Gauss.

Les nombres premiers de Gauss sont utilisés pour la résolution d'équations diophantiennes comme le théorème des deux carrés de Fermat ou pour établir des résultats théoriques comme la loi de réciprocité quadratique.

Motivation

En 1801 dans son livre Recherches arithmétiques Carl Friedrich Gauss développe des arithmétiques sur d'autres anneaux que celui des entiers relatifs. Il utilise particulièrement l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et l'ensemble des entiers qui portent son nom. Un entier de Gauss est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont entières.

L'ensemble des entiers de Gauss est un anneau euclidien donc factoriel. Une arithmétique modulaire se développe, analogue à celle de l'anneau Z/nZ. Une connaissance fine de la structure nécessite la compréhension des nombres premiers de Gauss. Elle rend opérationnelle le théorème de composition en facteurs premiers.

Propriétés

Une notion utile pour l'analyse des entiers de Gauss est la norme arithmétique. Elle est définie comme la somme des carrés de sa partie réelle et imaginaire. Elle est à valeur dans l'ensemble des entiers positifs et est multiplicative : deux entiers x et y vérifient l'égalité N(x.y) = N(x).N(y). La figure de droite illustre cette propriété. La norme est indiquée par le cercle bleu, dans l'exemple la norme de x est égale à deux, celle de y à cinq et le produit possède une norme de dix.

Les éléments inversibles (ou unités) de l'anneau des entiers de Gauss sont les éléments de norme 1, ce sont donc 1, -1, i et -i. Ces nombres jouent un rôle analogue à 1 et -1 dans , et les nombres premiers de Gauss peuvent être décrits à la multiplication par une unité près.

Quelques propositions permettent de caractériser les entiers irréductibles :

• Si la norme d'un entier de Gauss est égale à un nombre premier, alors l'entier est un nombre premier de Gauss.

En effet, si u et v sont deux diviseurs d'un entier de Gauss a, alors N(a) = N(u).N(v). En conséquence comme la norme de a est un nombre premier, soit u soit v possède une norme égale à 1.

La réciproque n'est pas vraie, par exemple 3 est un entier de Gauss sans diviseur autre que lui-même et 1 au groupe des unités près, cependant sa norme est égale à 9.

Il existe une condition nécessaire et suffisante simple pour caractériser les nombres premiers de Gauss :

• Un entier naturel est premier (ou irréductible) au sens des entiers de Gauss si et seulement s'il n'est pas somme de deux carrés.

Elle permet de caractériser précisément les nombres irréductibles :

• Un entier de Gauss est irréductible si et seulement si l'une des deux configurations suivantes se produit :

sa norme est un nombre premier et ce nombre premier est congru à 1 modulo 4;

sa norme est le carré d'un nombre premier congru à 3 modulo 4 et dans ce cas ou sa partie réelle ou sa partie imaginaire est nulle.

Autrement dit, les nombres premiers de Gauss sont de la forme suivante, à la multiplication par une unité près :

• le nombre 1 + i
• les nombres a + b.i et a − b.i tels que a² + b² est un nombre premier congru à 1 modulo 4
• les nombres premiers congrus à 3 modulo 4

• Un entier naturel est premier (ou irréductible) au sens des entiers de Gauss si et seulement s'il n'est pas somme de deux carrés.

Soit p un nombre premier, supposons qu'il est somme de deux carrés:

Alors p admet deux diviseurs non unitaires car de norme égale à p.

Supposons qu'il ne soit pas irréductible, alors il existe deux entiers de Gauss α et β non unitaires tel que p = α.β et comme la norme de p est égale à p² la norme de α est égale à p. La norme est somme de deux carrés, ce qui termine la démonstration.

• Un nombre premier p impair est somme de deux carrés si et seulement s'il est congru à 1 modulo 4.

La démonstration est donnée dans l'article sur la démonstration du théorème des deux carrés de Fermat par Dedekind

• Un entier n est somme de deux carrés d'entiers si et seulement si dans sa décomposition en facteurs premiers, les nombres premiers congrus à trois modulo 4 figurent à une puissance paire.

La démonstration est donnée dans l'article sur la généralisation à tous les entiers du théorème des deux carrés de Fermat

• Condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier n soit irréductible :

Cas où N(x) est premier :

Alors x est premier et pour qu'un nombre premier supérieur à 3 soit une norme, il faut et il suffit qu'il soit congru à 1 modulo 4.

Cas où N(x) est le carré d'un nombre premier p congru à 3 modulo 4 :

Soit u et v une décomposition en deux facteurs de x. Alors si la norme de u est différente de 1, comme elle ne peut être égale à p car une telle valeur n'est pas une norme, elle est égale à la norme de x. On en déduit que x est irréductible.

De plus, N(x) n'est somme de deux carrés que si chacun des membres est un multiple de p². Ceci démontre que soit la partie réelle, soit la partie imaginaire est nulle.

Cas où il existe un facteur premier congru à 3 modulo 4 à une puissance impaire :

Un tel facteur n'est pas somme de deux carrés, il n'existe donc pas d'entier de Gauss ayant cette valeur pour norme.

Cas où N(x) est une somme de deux carrés, non première et non carré d'un nombre premier p congru à 3 modulo 4.

Montrons avec un raisonnement par l'absurde que x n'est pas irréductible. Supposons qu'il le soit et trouvons une contradiction. N(x) est le produit de deux sommes de deux carrés chacune différente de 1 (c'est une conséquence de la démonstration du cas général du théorème des deux carrés. Il existe donc u et v tel que N(x) = N(u.v). On en déduit :

Si x est irréductible alors x divise l'un des facteurs de droite, par exemple u.v. et il existe un entier α tel que α.x = u.v. Comme la norme de x est égale à celle de u.v, la norme de α est égale à 1 et α est une unité. On en déduit que x = α^-1u.v. Ce qui prouve que x n'est pas irréductible d'où une contradiction et la démonstration est achevée.