Noyau (algèbre) - Définition

Introduction

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre générale, le noyau d'un morphisme mesure la non injectivité d'un morphisme.

Dans de nombreux cas, le noyau d'un morphisme est un sous-ensemble de l'ensemble de définition du morphisme : l'ensemble des éléments qui sont envoyés sur l'élément neutre de l'ensemble d'arrivée. Dans des contextes plus généraux, le noyau est interprété comme une relation d'équivalence sur l'ensemble de définition : la relation qui relie les éléments qui sont envoyés sur une même image par le morphisme.

Dans l'une ou l'autre de ces situations, le noyau est trivial si et seulement si le morphisme est injectif ; dans la première situation « trivial » signifie constitué uniquement de l'élément neutre, tandis que dans le second, cela signifie que la relation est l'égalité.

Le noyau d'un morphisme f est noté souvent Ker ( f ), qui vient de Kern, qui en allemand signifie « noyau » (dans tous les sens du terme : l'analogie s'est propagée d'une langue à l'autre).

Cet article présente diverses définitions du noyau, pour les types les plus couramment utilisés de morphismes.

Noyau d'un morphisme de groupe

Le noyau d'un morphisme de groupes f d'un groupe G vers un groupe H se compose de tous les éléments de G qui sont envoyés par f sur l'élément neutre e_H de H. Formellement :

Le noyau est un sous-groupe distingué de G.

L'un des théorèmes d'isomorphisme énonce que le groupe quotient G / Ker ( f ) est isomorphe à l'image de f. Cet isomorphisme est induit par f lui-même. Une proposition légèrement plus générale est le théorème de factorisation des morphismes.

Le morphisme de groupes f est injectif si et seulement si son noyau est le groupe trivial.

Noyau d'un morphisme d'anneau

Le noyau d'un morphisme d'anneau f d'un anneau A dans un anneau B se compose de tous les éléments x de A pour lequel f ( x ) = 0. Formellement :

Le noyau est un idéal bilatère de A.

Le théorème d'isomorphisme mentionné ci-dessus pour des groupes et des espaces vectoriels reste valable dans le cas des anneaux.

Noyau d'une application linéaire

Si f est une application linéaire d'un espace vectoriel V dans un espace vectoriel W, alors le noyau de f est défini par

Le noyau est un sous-espace de l'espace vectoriel V, et l'espace vectoriel quotient V / Ker ( f ) est isomorphe à l'image de f ; en particulier, le théorème du rang relie les dimensions :

L'application linéaire f est injective si et seulement si Ker ( f ) = { 0 }.

Si V et W sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps K, de dimensions respectives n et p et si des bases de ces espaces sont données, alors f peut être représentée par une matrice , et le noyau peut être déterminé en résolvant le système homogène d'équations linéaires M X = 0.

Dans cette représentation, les solutions de ce système correspondent aux coordonnées des vecteurs du noyau de f, mais aussi aux vecteurs du noyau de l'application linéaire canoniquement associée à la matrice M.

La dimension du noyau est donnée par le nombre de colonnes de M moins le rang de M.

Résoudre des équations différentielles homogènes nous mène souvent à la détermination du noyau d'une certaine application linéaire.

Par exemple, si nous désirons déterminer les fonctions deux fois dérivables f de R dans R telles que

nous avons à considérer le noyau de l'application linéaire , où V est l'espace vectoriel de toutes les fonctions deux fois dérivables de R dans R, W est l'espace vectoriel de toutes les fonctions de R dans R, et l'image par d'un élément f de V est définie par la condition