Paradoxe du train - Définition
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Contraction des longueurs
Supposons que le tunnel soit équipé de deux détecteurs, un à l'entrée E et l'autre à la sortie S. Le train, supposé se déplacer à une vitesse proche de celle de la lumière, traverse ce tunnel. Le détecteur de sortie émet un signal lumineux A lorsque l'avant P du train sort du tunnel. Le détecteur d'entrée émet un signal lumineux B lorsque l'arrière Q du train entre dans le tunnel. Autrement dit l'événement A consiste dans le passage du point P du train devant le point S de la voie et l'événement B dans le passage du point Q du train devant le point E de la voie.
La relativité restreinte indique que vu de la voie le train paraît raccourcir. Cela veut dire que, pour les observateurs fixes, lorsque l'arrière Q du train entre dans le tunnel l'avant P n'en est pas encore sorti. Autrement dit l'éclair A est émis après l'éclair B. Si l'observateur O sur la voie est à mi-distance des extrémités du tunnel, il recevra donc d'abord l'éclair B (et à cet instant tout le train sera à l'intérieur du tunnel) puis un bref instant après l'éclair A.
La vision des passagers du train est différente. Pour eux c'est le tunnel qui paraît plus court que leur train. Cela revient à dire que lorsque l'avant P du train est sorti du tunnel (éclair A) l'arrière Q du train n'y est pas encore entré (éclair B). Par conséquent l'ordre des événements A et B est inversé par rapport aux observateurs de la voie. L'événement A précède maintenant l'événement B. Un passager situé au milieu du train recevra l'éclair A avant l'éclair B.
Il n'y a rien d'incohérent à ces différences de point de vue entre l'observateur au repos et l'observateur en mouvement. La relativité restreinte affirme en effet que les notions d'antériorité et de simultanéité sont relatives, c'est-à-dire dépendent du référentiel dans lequel on fait les mesures. Elles n'ont pas de caractère absolu. Depuis la voie A est postérieur à B tandis que depuis le train B est postérieur à A.
Illustration graphique du paradoxe
Diagramme d'espace-temps
Le schéma ci-contre représente le passage du train dans le tunnel dans un diagramme espace-temps. Y sont représentées les lignes d'univers d'une part de l'avant P du train et de l'arrière Q du train, et d'autre part de la sortie S du tunnel et de son entrée E.
Lorsque l'avant P du train coïncide avec la sortie S, c'est l'événement A. Lorsque l'arrière Q du train coïncide avec l'entrée E du tunnel, c'est l'événement B. Les coordonnées (x, t) correspondent au repère fixe de la voie. Les coordonnées (x ’, t ’) sont relatives au train. L'origine des coordonnées peut être choisie de façon arbitraire. (Pour fixer les idées on peut prendre l'événement B comme origine avec t = t ’ = 0.)
Le temps t ou t ’ correspondant à l'événement A est obtenu en menant de A la parallèle à l'axe x ou x ’ et en notant où cette parallèle coupe l'axe temporel. On remarque immédiatement que t est supérieur à t tandis que t ’ est inférieur à t ’. Autrement dit l'événement A est postérieur à l'événement B pour les observateurs situés sur la voie tandis que l'inverse est vrai pour les passagers du train, ces derniers jugeant que l'événement A est antérieur à B. On a démontré , algébriquement, que l'écart temporel entre A et B est le même en valeur absolu dans les deux repères, bien que le signe diffère.
Le diagramme montre encore que l'événement A est situé à l'extérieur du cône de lumière issu de l'événement B. Autrement dit les événements A et B ne peuvent pas être liés par un quelconque lien de cause à effet. La distance spatiale les séparant est trop grande devant leur distance temporelle de sorte qu'un signal issu de A ne peut pas atteindre l'événement B avant que ce dernier se produise (et réciproquement).
La droite joignant les événements A et B représente l'axe des abscisses dans un repère particulier, celui où ces deux événements ont lieu au même instant. La vitesse w de ce repère par rapport à la voie ferrée est inférieure à la vitesse du train. Dans un autre repère, quelconque, l'événement A sera antérieur à B si sa vitesse est supérieure à w (c'est le cas du train) et sera postérieur à B si sa vitesse est inférieure à w (c'est le cas du repère de la voie ferrée).
Pour éviter les fausses interprétations des effets de relativité restreinte, redisons que la contraction de longueur évoquée ici n'est pas réaliste pour un vrai train ! Les effets de relativité restreinte dépendent du fameux facteur de Lorentz γ et ne deviennent notables que lorsque les vitesses approchent celle de la lumière, ce qui n'est pas le cas de la vitesse d'un train, qui reste inférieure à 3×10-7 c.
Animation
Le dessin animé ci-contre montre le passage du train dans le tunnel dans chacun des deux repères.
La partie d'en-bas décrit le passage du train dans le repère du tunnel : le premier signal indique l'entrée de l'arrière du train dans le tunnel alors que le second marque la sortie de l'avant du train. Le signal émis par l'arrière du train n'a pas le temps d'atteindre l'avant.
La partie d'en-haut décrit la suite des événements dans le repère du train, dont les passagers voient arriver le tunnel vers eux : le premier signal concerne cette fois la sortie de l'avant du train, avant que le second signal se déclenche lorsque l'arrière du train passe dans le tunnel. Ce dernier signal, émis après le premier, ne peut évidemment pas rejoindre l'avant du train.
Dans les deux analyses la bombe située à l'avant du train explose.
