Contraction des longueurs - Définition

Introduction

En relativité restreinte, la contraction des longueurs désigne la loi suivant laquelle la mesure de la longueur d'un objet en mouvement est diminuée par rapport à la mesure faite dans le référentiel où l'objet est immobile, du fait, notamment, de la relativité de la simultanéité d'un référentiel à l'autre. Toutefois, seule la mesure de la longueur parallèle à la vitesse est contractée, les mesures perpendiculaires à la vitesse ne changent pas d'un référentiel à l'autre.

En relativité générale, une contraction des longueurs est aussi prédite. Dans ce cadre, sa cause en est soit la même qu'en relativité restreinte, soit la gravitation ou une accélération.

En relativité restreinte

Mesure de la longueur d'un objet

Dans un référentiel quelconque de l'espace-temps, mesurer un objet c'est avoir deux détecteurs, immobiles et espacés d'une distance connue, qui sont simultanément en contact avec les extrémités de cet objet. Dans ce cas, la longueur de l'objet est la distance entre les deux détecteurs.

En considérant deux référentiels et en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, l'immobilité et la simultanéité étant relatives au référentiel, ce qui apparait être une mesure de longueur dans l'un n'en est pas une dans l'autre.

L'invariance de l'intervalle d'espace-temps s'écrit :

,

où est l'intervalle de temps et la distance (spatiale) séparant deux événements repérés dans le référentiel .

Deux détecteurs étant donnés, les deux événements considérés sont le contact de chacun avec une extrémité.

Si la mesure est faite dans le référentiel , on y considère, pour la mesure de la longueur, des coordonnées où les extrémités sont simultanément détectées chacune par un détecteur fixe : donc entre la détermination de ces coordonnées, et , la distance entre les détecteurs est ainsi la distance mesurée entre les extrémités.

Vu de les coordonnées ne semblent pas être simultanément détectées, donc . On en déduit alors Mais la longueur est la distance spatiale, mesurée dans , entre les deux événements que sont les contacts entre les extrémités et les détecteurs : ce n'est pas obligatoirement la longueur entre les extrémités de l'objet puisque objet et détecteurs sont en mouvement et les contacts ne sont pas simultanés dans ce référentiel. L'inégalité ici obtenue n'est pas obligatoirement une comparaison entre deux mesures de la longueur de l'objet.

Immobilité ou pas

On suppose que l'objet est immobile dans le référentiel , et, par rapport au référentiel , est en translation à la vitesse dans le sens de sa longueur. En se rappelant que la norme de la vitesse de par rapport à est égale à celle de par rapport à .

Dans le référentiel , où l'objet est immobile, on peut considérer que l'on y fait la vrai mesure, la longueur propre.

Ainsi dans il existe un lieu où peuvent être présents chacune des extrémités, à un intervalle de temps . On suppose qu'en ce lieu est placé un détecteur, et on considère les deux événements "rencontre entre le détecteur et une des extrémités".

• Dans  : on a, évidemment, , où est la longueur de l'objet mesurée dans ce référentiel, et bien sûr la distance spatiale entre ces deux événements est nulle.
• Dans  : ce même intervalle de temps mesuré est , où est la longueur de l'objet mesurée dans ce référentiel (la longueur propre, donc), par contre ces deux détections sont espacés de la longueur , puisque dans ce référentiel, l'objet est immobile et c'est le détecteur qui se déplace.

Par l'invariance de l'intervalle d'espace-temps, on a Donc, après quelques calculs, , d'où . Il y a contraction de (la mesure de) la longueur par rapport à la longueur propre de l'objet.

Mesurer un mètre avec un mètre

Supposons que dans chaque référentiel on dispose d'un mètre (immobile) avec lequel on mesure la longueur du mètre immobile dans l'autre référentiel et orienté dans la direction de la vitesse relative.

Suivant le raisonnement du deuxième paragraphe, dans chaque référentiel on doit voir le mètre de l'autre référentiel plus petit que celui qui est immobile. Est-ce un paradoxe ? Non.

Prenons le cas où la mesure est faite depuis . Pour pouvoir être mesuré, les déterminations des coordonnées des extrémités du mètre de sont simultanées dans le référentiel , mais, d'après la relativité de la simultanéité, ces déterminations n'apparaissent pas comme simultanées vues depuis où on voit l'observateur de déterminer les coordonnées des extrémités à des moments différents entre lesquels il a bougé par rapport à ce mètre (qui lui est toujours immobile dans ). Ainsi, la mesure faite dans n'apparait pas comme correctement faite quand elle est vue depuis  : dans chaque référentiel est fait correctement une mesure ... quand elle est vue depuis ce référentiel, mais elle n'est pas jugée comme correctement faite quand elle est vue d'un autre. Ainsi, depuis un référentiel on peut contester les mesures faites dans un autre : la validité d'une mesure est relative au référentiel où elle a été faite.

Cas des longueurs perpendiculaires à la vitesse

Les longueurs perpendiculaires à la direction du mouvement ont la même mesure dans les deux référentiels.

Pour s'en convaincre, il suffit d'imaginer une porte coulissante, entre des rails supérieurs et inférieurs, immobile dans un référentiel et que l'on accélère dans ce même référentiel (les rails du coulissement sont très très longs) : les rails supérieurs et inférieur sont immobiles et sont toujours à la même distance, et la porte, animée d'une vitesse peut-être très grande, ne sort pas de ses rails du simple fait qu'elle les suit. La hauteur de la porte, longueur perpendiculaire à la vitesse, reste égale à la distance entre les rails supérieurs et inférieurs, donc ne diminue pas dans le référentiel où on la voit passer, par rapport au moment où elle était immobile.

Avec les transformations de Lorentz

Les transformations de Lorentz sont, en supposant la vitesse parallèle à l'axe (ox) et en posant et  :

Pour la mesure faite dans le référentiel , on a , et on obtient

On montre aussi la non simultanéité de la détermination des extrémités vue depuis l'autre référentiel :

Contraction des volumes

La translation d'un volume par rapport à un référentiel inertiel implique que la dimension de ce volume ayant la même direction que le mouvement est contractée d'un facteur γ ^{− 1}, si la mesure est faite dans le dit référentiel et par rapport à une mesure faite sur le volume au repos. Les mesures des dimensions perpendiculaires au mouvement ne sont pas contractées. Par produit entre ces différentes mesures, cela implique que les volumes sont aussi contractées du même facteur γ ^{− 1}.