Paradoxe du train - Définition

Introduction

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Avec Einstein

En physique des particules

Méta

Le paradoxe du train est une expérience de pensée destinée à illustrer des effets paradoxaux de la relativité restreinte : non-pertinence des notions de simultanéité et d'antériorité absolues et contraction des longueurs.

Description du paradoxe

La situation apparemment incohérente présentée par le paradoxe du train est la suivante. Considérons un train animé d'une vitesse v proche de celle de la lumière (ce qui est par ailleurs impossible à réaliser concrètement) et un tunnel ayant la même longueur propre (c'est-à-dire la longueur mesurée dans un repère au repos par rapport à l'objet mesuré). La relativité restreinte indique que si nous mesurons la longueur du train depuis la voie, le train apparaîtra plus court que le tunnel d'un facteur (1/γ ) = [1 - (v²/c²)]^½.

La situation vue du train est différente. C'est maintenant le tunnel qui est plus court que le train, le premier n'étant donc pas susceptible de contenir le second dans toute sa longueur.

Il en résulte que pour les observateurs situés sur la voie, l'arrière du train sera déjà dans le tunnel quand l'avant en sortira. Pour les passagers du train, c'est l'inverse : l'avant sortira du tunnel alors que l'arrière n'y sera pas encore entré.

Imaginons alors l'expérience suivante. Une bombe est située à l'avant du train, prête à exploser au moment précis où le train sort du tunnel. En même temps cette bombe peut être désamorcée grâce à un signal émis à l'arrière du train au moment précis où la queue du convoi entre dans le tunnel. La bombe éclatera-t-elle ou non ?

Dans le repère du train l'avant du train sort avant que l'arrière soit entré. Donc le signal de désamorçage ne peut pas atteindre l'avant. La bombe explose.

Dans le repère de la voie, l'arrière du train entre dans le tunnel avant que l'avant soit sorti. Le signal de désamorçage est émis et neutralise l'explosion. La bombe n'explose pas.

La bombe ne peut pas à la fois exploser et ne pas exploser selon le repère choisi. La relativité restreinte serait-elle en défaut ?

Résolution du paradoxe

Revenons alors à la question posée. L'événement A correspond à l'explosion de la bombe placée à l'avant du train, l'événement B à celui de l'émission du signal de désarmement de la bombe. Dans le repère du train, il n'y a aucune ambiguïté : l'événement B étant postérieur à A, le signal de désamorçage B est émis alors que la bombe a déjà explosé. Dans le repère de la voie le signal B est émis avant que la bombe explose. Mais ce signal aura-t-il le temps de parvenir jusqu'à l'avant du train ? La réponse est négative, de sorte que la bombe explosera. On peut le montrer de plusieurs façons.

La relativité restreinte définit le carré de l'intervalle spatio-temporel entre deux événements A et B séparés par une distance temporelle Δt et une distance spatiale Δs par la formule

et énonce que cette quantité est indépendante du repère dans lequel elle est évaluée. En particulier elle peut être positive ou négative mais ce caractère ne dépend pas du système de coordonnées choisi. Si la quantité est négative, cela signifie que l'intervalle est du type « espace » (la distance spatiale est plus grande que la distance temporelle) et que les événements A et B sont indépendants l'un de l'autre. Or puisque nous venons de voir que B n'a pas pu agir sur A quand on se place dans le repère du train il en est nécessairement de même dans le repère de la voie ferrée. Cela veut dire à son tour que le signal émis par l'arrière du train n'aura pas le temps d'arriver à l'avant pour empêcher l'explosion de la bombe. Dans le repère de la voie, les observateurs fixes concluent également que la bombe explosera.

Il n'y a pas de contradiction dans l'analyse de la relativité restreinte.

Les calculs suivants développent quantitativement ce raisonnement et fournissent tous les détails du problème.