Hexagone
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Introduction

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Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120° et ses côtés sont de même mesure. Les hexagones réguliers peuvent se juxtaposer les uns les autres sans laisser aucune lacune, comme les carrés et les triangles équilatéraux, et sont ainsi utiles pour construire des pavages. Les cellules des rayons dans une ruche d'abeilles à miel sont hexagonales pour cette raison et parce que cette forme permet une utilisation efficace de l'espace et des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) de construction.

Calcul de la surface

La surface d'un hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous...) régulier de côté a\,\! est

A = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2.

La surface d'un hexagone régulier dont le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) inscrit est r_i\,\! , alors l'aire A\,\! est

A =2\sqrt{3}r_i^2

Propriétés générales

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Hexagone croisé Hexagone convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule...) Hexagone concave
Sommets Côtés Diagonales
6 6 9

Calcul de la surface par décomposition en triangles

La surface d'un hexagone régulier isométrique peut aussi se calculer avec la formule suivante :

A = 6 \cdot \frac{( a \cdot h )}{2}

Déduit de la formule générale du calcul de l'aire d'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite...) régulier possédant n\,\! côtés (n\geq3) :

A = n \cdot \frac{( a \cdot h )}{2}

Cette formule permet de calculer l'aire en divisant l'hexagone en 6 triangles équilatéraux. Comme r = a, l'apothème (Un apothème est un terme désignant la ligne de construction définissant la médiatrice du côté d'un polygone régulier. C'est la distance du sommet d'un cône de...) h\,\! se déduit à l'aide de la formule de Pythagore h = \sqrt{r^2 - (\frac{a}{2})^2} .

a\,\! : Longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) d'un des 6 côtés de l'hexagone.
h\,\! : Longueur de l'apothème (apothème : ligne droite perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin...) à l'un des côtés qui rejoint le centre de l'hexagone)
r\,\! : Longueur du rayon (rayon : ligne droite du centre de l'hexagone à l'un des 6 sommets)
n\,\! : Nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de côté du polygone régulier (pour la formule générale).

Autres

De par sa forme grossièrement hexagonale, la France métropolitaine (La France métropolitaine, parfois raccourcie en Métropole, est dans le langage courant la partie européenne de la France, c'est-à-dire le territoire continental et les îles proches (de l'océan...) est souvent appelée "Hexagone".

Hexagone régulier

Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).

Symétrie

Hexagone et triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) équilatéral

Construction d'un hexagone régulier

Un hexagone régulier est constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une construction (matérielle ou non).) car il vérifie le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Gauss-Wantzel: 6 est le produit de 2 (en effet, 2 est puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de 2) et de 3 (3 est un nombre de Fermat).

Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de...), qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux:

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Pavages

pavage hexagonal
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Honeycomb 3d rot.png

L'hexagone permet de créer un pavage (Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble fini d'éléments appelé tuiles (plus précisément, ce sont des compacts d'intérieur non...) périodique.

Dans la nature

Les alvéoles d'abeille, construits afin de stocker le miel et le pollen (Le pollen (du grec palè : farine ou poussière) constitue, chez les végétaux supérieurs, l'élément fécondant mâle de la fleur : ce sont de minuscules grains de forme plus ou moins ovoïde...) ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire (Chimiquement, la cire est un ester de l'éthylène glycol et de deux acides gras ou un monoester d'acide gras et d'alcool à longues...). Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base. L'hexagone est une figure optimale, pour l'abeille. Non seulement elle permet de paver le plan, mais, de plus, elle correspond à un optimum isopérimétrique, c'est-à-dire que parmi les figures régulières qui permettent de paver l'espace, l'hexagone correspond à la plus grande surface possible pour un périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité de grillage nécessaire à la clôture d'un...) donné. Aucune autre figure, permettant de paver l'espace n'utilise moins de cire que celle adoptée par les abeilles. Cette remarque est initialement l'œuvre de Pappus (Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus important mathématiciens de la Grèce antique, connu pour son ouvrage Synagoge...), un géomètre grec de l'antiquité.

Usages

Hexagramme

L’hexagramme de Pascal

Hexagramme de Pascal

Un hexagramme de Pascal est un hexagone irrégulier très particulier. Il est tel que les côtés opposés se coupent en trois points alignés. Cette configuration, inventée par Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 août 1662, Paris) est un mathématicien et physicien, philosophe, moraliste et théologien français.), est très utile pour l'étude des ellipses, hyperboles, paraboles, cercles.

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