Schéma produit - Définition

Introduction

En géométrie algébrique, le produit de deux schémas (plus exactement de deux schémas au-dessus d'un même schéma de base) est l'équivalent des produits d'anneaux, d'espaces vectoriels, d'espaces topologiques... C'est un outil de base pour construire des schémas, faire du changement de bases etc.

Définition

On fixe un schéma S (appelé schéma de base) et on considère la catégorie des S-schémas. Soient X,Y deux S-schémas. En langage catégoriel, le produit (fibré) de X,Y au-dessus de S est simplement le produit fibré de , dans la catégorie des S-schémas. En terme plus concret, le produit fibré de X,Y au-dessus de S est la donnée d'un S-schéma noté , et des morphismes (morphismes de projection) , vérifiant la propriété universelle suivante:

pour tout S-schéma Z et pour tout couple de morphismes de S-schémas et , il existe un unique morphisme tel que f = ph et g = qh.

Comme toute solution d'un problème universelle, l'unicité découle immédiatement de la définition. L'existence se prouve en se ramenant au produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un schéma affine. On utilise alors le fait que le produit tensoriel de deux algèbres au-dessus d'un anneau commutatif unitaire A est la somme dans la catégorie des A-algèbres, catégorie opposée de la catégorie des A-schémas affines.

Notation On note généralement le produit fibré par , les morphismes de projection étant sous-entendu. Si S = SpecA est affine, on peut remplacer S par A dans la notation. Le morphisme dans la propriété universelle ci-dessus se note (f,g).

Exemples

• Si A,B sont des algèbres au-dessus d'un corps k. Alors est le k-schéma affine associé à la k-algèbre .

• Si et , alors . Donc .

• Si et , alors est le quotient de par l'idéal engendré par I,J.

• Le produit de la droite projective par elle-même n'est pas isomorphe au plan projectif . Ce produit est isomorphe à la quadratique x₀x₃ − x₁x₂ = 0 de . Plus généralement, le produit de deux variétés projectives est une variété projective (plongement de Segre).

• est une variété algébrique sur qui a exactement deux points, alors que chaque composante n'en a qu'un.

Premières propriétés

• Pour tout S-schéma Z, l'application

définie par est bijective.

• Si X = SpecA,Y = SpecB et S = SpecR sont affines, alors et les morphisme de projections p,qsont induits par les homomorphismes d'anneaux , définis respectivement par et .

• Si U,V sont des parties ouvertes respectives de X,Y, alors , et les morphismes de projections de sont juste les restrictions de p,q.

• On a des isomorphismes canoniques

• Si Z est un Y-schéma, alors on a un isomorphisme canonique

Changement de bases

Le concept du changement de bases est fondamental dans la théorie des schémas. Soit un S-schéma. Soit un morphisme de schémas. Alors le produit fibré muni de la deuxième projection est un T-schéma, et on dit qu'il est obtenu par le changement de bases . Le T-schéma ainsi obtenu est noté X_T. Plus généralement, si est un morphisme de S-schémas, le produit fibré par T induit un morphisme de T-schémas.

• Par exemple, si est un homomorphismes d'anneaux (commutatifs unitaires), l'espace affine peut être construit à partir de en considérant le changement de bases .

• Si K / k est une extension de corps, devient, après changement de bases , .

• Similairement, devient .

Dans ces deux exemples, le changement de base est donné par une extension de corps. On parle alors d'extension du corps de base ou d'extensions des scalaires. Par exemple, une conique projective non-singulière devient isomorphisme à la droite projective après une extension quadratique séparable du corps de base.

• Si X est une variété algébrique sur un corps k et si K / k est une extension. Alors X(K) = X_K(K) est l'ensemble des points rationnels de X_K.