Schéma produit - Définition

Espace topologique sous-jacent

Les points de ne sont pas les points du produit cartésien en général (cf. l'exemple ci-dessus de produit au-dessus de avec lui-même). Pour les variétés algébriques sur un corps k, on a

Donc on a un bon contrôle des points rationnels. Cependant, même quand k est algébriquement clos et que l'on se restrient aux points fermés (les points fermés de est en bijection avec le produit cartésien des points fermés de X et de Y dans ce cas-là), la topologie de Zariski sur le produit (produit cartésien) est strictement plus fine que la topologie produit en général. Par exemple, si X = Y sont la droite affine sur k. Alors est le plan affine Speck[t,s]. L'ouvert de Zariski D(t − s) (le complémentaire de la diagonale) ne contient aucun ouvert non-vide de la forme avec des ouverts U,V de .

Fibres d'un morphisme

Soit un morphisme de schémas. Soit un point. Ensemblistement, la fibre de f en y est le sous-ensemble f ^{− 1}(y) de X. Le produit fibré permet de munir canoniquement ce sous-ensemble d'une structure de schéma. En effet, on a un morphisme canonique , où k(y) est le corps résiduel de Y en y. Soit . C'est un k(y)-schéma par la seconde projection. On montre que la projection induit un homéomorphisme de X_s sur f ^{− 1}(y). Le k(y)-schéma X_y est appelé la fibre de f en y. Le Y-schéma X peut alors être vu comme la famille des k(y)-schémas, lorsque y parcourt les points de Y.

Si Y est irréductible de point générique η, la fibre X_η est appelée la fibre générique de f. Si y est un point fermé de Y, la fibre X_y est appelée une fibre fermée (ou la fibre spéciale lorsque Y est le spectre d'un anneau de valuation discrète).

Exemples

• Les fibres du morphisme structural de l'espace affine sur Y sont des espaces affines .

• Soit où p est un nombre premier fixé. C'est un -schéma. Sa fibre générique est isomorphe à la droite affine moins l'origine sur le corps des rationnels car p est inversible dans . De même sa fibre en tout premier l (correspondant donc à l'idéal premier ) est isomorphe à la droite affine moins l'origine sur le corps fini F_l à l éléments. En revanche, sa fibre en p, égale à SpecF_p[t,s] / (ts²) est la réunion de deux droites affines sur F_p se coupant transversalement en un point. Cette fibre n'est pas réduite car la classe de ts dans le quotient est nilpotent et non-nulle.

• Soit L / K une extension de corps de nombres et soient O_K,O_L leurs anneaux d'entiers respectifs. Soit induit par l'inclusion des anneaux d'entiers. Alors l'extension L / K est non-ramifiée au-dessus d'un idéal premier de O_K si et seulement si la fibre de f en est un schéma réduit.

• Si E est une courbe elliptique sur , son équation de Weierstrass minimale définit un schéma projectif sur (qui est ). Sa fibre en un nombre premier p (vu comme le point de ) est une courbe projective sur le corps premier F_p et est appelée la (ou plutôt une) réduction de E mod p.