Table de logarithmes - Définition

Introduction

Tables de Logarithmes Bouvart et Ratinet, Librairie Hachette, 1957

Une table de logarithmes est une représentation tabulaire des logarithmes (généralement en base 10) des nombres de 1,00 à 9,99.

La connaissance des logarithmes des nombres compris entre 1,00 et 9,99 suffit, puisque le logarithme des autres nombres peut être obtenu facilement ; seule la partie devant la virgule change (caractéristique du logarithme décimal).

Exemple :

• Le logarithme de 2 est 0,30103… ;
• le logarithme de 20 est 1,30103… ; et
• le logarithme de 200 est 2,30103…

Des logarithmes de nombres avec quatre chiffres significatifs se laissent calculer avec une interpolation linéaire.

Les tables logarithmiques sont des aides au calcul de produits, de quotients ou d'extractions de racines.

Construction

Les premières tables logarithmiques apparaissent au début du XVII^e siècle dans le but de faciliter les calculs astronomiques. À une époque où tous les calculs se font à la main, elles permettent de transformer les produits en sommes. Pour exécuter le produit de a par b, il suffit de chercher le logarithme de a et celui de b. En effectuant la somme de ces deux logarithmes, on obtient le logarithme de ab. Le produit ab est alors facile à retrouver en lisant la table à l'envers. C'est John Napier (Neper) qui publie les premières tables logarithmiques qui sont des tables de logarithme de sinus (Mirifici Loagarithmorum Canonis Descriptio - 1614). Henry Briggs qui travaille en collaboration avec Neper a l'idée d'associer au nombre 10 le nombre 1 et il construit ainsi la première table de logarithme décimal ou logarithme de base 10 (1615). Dans le même temps (1603 - 1611), l'astronome Jost Bürgi qui travaille aux côtés de Kepler élabore des tables trigonométriques et une table d'antilogarithme qui sera publiée en 1620.

Ces tables numériques sont construites à l'aide du principe décrit ci-dessous en n'utilisant que des opérations simples (additions, interpolations linéaires). Les précisions obtenues, 14 décimales par exemple pour la table de Briggs, laissent imaginer la quantité de calculs qu'il a fallu effectuer pour les construire. C'est donc un outil précieux tant pour la difficulté de sa construction que pour son utilité pratique, qui se développe ainsi au cours du XVII^e siècle; Elles sont massivement utilisées pour les calculs pendant plus de trois siècles avant d'être détrônées à la fin du XX^e siècle par la mise sur le marché de calculatrices performantes.

Principe

Le principe de construction consiste à associer une suite arithmétique et une suite géométrique qui progressent de concert. Neper, expliquant son principe dit en substance :

« Le logarithme d'un sinus est un nombre qui augmente également dans des temps égaux tandis que le sinus décroit proportionnellement. Les deux mouvements ayant lieu dans le même temps et commençant à la même vitesse ».

Illustration

On peut présenter une version simplifiée de la construction en imaginant de construire les puissances successives de 1,01. Les calculs s'effectuant à la main à partir des opérations de base (addition, interpolation linéaire), il faut déjà beaucoup de temps pour obtenir une précision de 3 ou 4 décimales.

Première étape

On détermine dans un premier temps la suite des puissances du nombre 1,01 jusqu'à ce que le nombre 10 (la base) soit atteint. C'est-à-dire que l'on commence avec la première puissance (1,01), puis on ajoute le nombre décalé vers la droite de deux chiffres (multiplié par 0,01) et on obtient la puissance suivante :

• 1,01 + 0,0101 = 1,0201.

On continue ainsi, en arrondissant ensuite les résultats en tronquant les chiffres après la quatrième décimale :

• La troisième puissance de 1,01 est égale à 1,0303 ;
• la 4^e puissance est égale à 1,0406 ; … en utilisant les règles classiques des arrondis, par exemple :
• la 11^e puissance vaut 1,1155 ;
• la 12^e puissance est alors 1,1155 + 0,0112 = 1,1267 ; …
• enfin la 231^e puissance est 9,959 ; et la 232^e puissance est 10,059.

On s'arrête alors lorsque 10 a été dépassé. On obtient alors la table suivante :

L'apport de Neper est d'envisager que le mouvement est continu, c'est-à-dire que l'on peut combler les trous. Puisque pour n=231, on arrive à 9,959 et que pour n=232, on arrive à 10,59, c'est entre ces deux nombres que l'on va arriver à 10. On peut alors envisager alors une interpolation linéaire : un écart de 1 dans la colonne de gauche correspond à un écart de un dixième dans la colonne de droite. Pour arriver à 10 en partant de 9,959, il faut ajouter 0,41 dixièmes. Il faut donc ajouter 0,41 unités dans la colonne de gauche. Au nombre 10 correspond donc 231,41. S'il l'on veut faire correspondre, au nombre 10 le nombre 1, il suffit de diviser tous les termes de la colonne de gauche par 231,41. On obtient ainsi des valeurs approchées des logarithmes décimaux de toutes les puissances de 1,01.

Deuxième étape

On construit alors un tableau de correspondances qu'il suffit de compléter pour les valeurs intermédiaires à l'aide d'une interpolation linéaire

Pour déterminer, par exemple, le logarithme en base 10 du nombre 2, il suffit de parcourir la table des puissances de 1,01 et de lire que 2,00 se situe entre la 69^e puissance (1,9867) et la 70^e puissance de 1,01 (2,0066). D'une interpolation linéaire, 2 en ressort avec une puissance de 69,66, donc 1,01^69,66≈ 2, c’est-à-dire 69,66log(1,01) ≈ log(2).

Pour déterminer le logarithme base 10 de 2, il ne reste plus qu'à effectuer la division 69,65 / 231,4 ≈ 0,30104 qui correspond bien à une valeur approchée de log(2) .

En réalité, les tables de logarithmes furent construites à la main avec davantage de précisions, en partant par exemple des puissances de 1,000001. Si on affecte alors arbitrairement la valeur 0,000001 au logarithme de 1,000001, on obtient la valeur de 1 pour le logarithme de 2,71828, donnant ainsi une légitimité au logarithme naturel (ou népérien) de base e.