Tenseur de Killing-Yano - Définition
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Introduction
sur les tenseurs
Tenseur
Tenseur (mathématiques)
Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux applications linéaires
Algèbre tensorielle
Champ tensoriel
Espace tensoriel
Convention d'Einstein
Tenseur métrique
Tenseur énergie-impulsion
Tenseur de Riemann
... de Ricci
... d'Einstein
... de Weyl
... de Levi-Civita
... de Killing
... de Killing-Yano
... de Bel-Robinson
... de Cotton-York
Tenseur électromagnétique
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations
Modules
Algèbre extérieure
En géométrie riemannienne, un tenseur de Killing-Yano est une généralisation du concept de vecteur de Killing à un tenseur de dimension supérieure. Ils ont été introduits en 1952 par Kentarô Yano. Un tenseur antisymétrique d'ordre p
-
Cette équation diffère de la généralisation usuelle du concept de vecteur de Killing à des tenseurs d'ordre plus élevé, appelés tenseurs de Killing par ce que la dérivée covariante D est symétrisée avec un seul indice du tenseur et non la totalité de ceux-ci, comme c'est le cas pour les tenseurs de Killing.
Tenseurs de Killing-Yano triviaux
Tout vecteur de Killing est un tenseur de Killing d'ordre 1 et un tenseur de Killing-Yano.
Le tenseur complètement antisymétrique (dit de Levi-Civita)
Propriétés
Un certain nombre de propriétés des espaces-temps quadridimensionnels impliquant les tenseurs de Killing-Yano ont été exhibées par C. D. Collinson et H. Stephani dans le courant des années 1970.
- Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano non dégénéré, alors celui-ci peut s'écrire sous la forme
-
- où k, l, m et
-
- Les solutions aux équations d'Einstein dans le vide et de type D dans la classification de Petrov admettent un tenseur de Killing et un tenseur de Killing-Yano, tous deux d'ordre 2 et reliés par la formule donnée ci-dessus.
- Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 2 dégénéré Aab, alors celui-ci s'écrit sous la forme
- Aab = kapb − pakb,
- k étant un vecteur de Killing de genre lumière. Le tenseur de Weyl est dans ce cas de type N dans la classification de Petrov, et k est son vecteur propre non trivial. De plus, a possède la relation donnée ci-dessus avec le tenseur de Riemann
- Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 3, alors soit le vecteur associé par dualité de Hodge est un vecteur de genre lumière constant, soit l'espace est conformément plat.
Construction de tenseurs de Killing à partir de tenseurs de Killing-Yano
Il existe plusieurs façons de construire des tenseurs de Killing (symétriques) à partir de tenseurs de Killing-Yano.
Tout d'abord, deux tenseurs de Killing triviaux peuvent être obtenus à partir de tenseurs de Killing-Yano :
- À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre 1 ξa, on peut construire un tenseur de Killing Kab d'ordre de 2 selon
- Kab = ξaξb.
- À partir du tenseur complètement antisymétrique
-
De façon plus intéressante, à partir de deux tenseurs de Killing-Yano d'ordre 2 Aab et Bab, on peut construire le tenseur de Killing d'ordre 2 Kab selon
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À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre n-1,
-
Du fait que le tenseur
-
Cette propriété permet de construit un tenseur de Killing Kab à partir de deux tels vecteurs, défini par :
- Kab = AaBb + AbBa − 2AcBcgab.
Toute combinaison linéraire de tenseurs de Killing-Yano est également un tenseur de Killing-Yano.
