Théorème de Bernoulli - Définition

Introduction

Le théorème de Bernoulli qui a été établi en 1738 par Daniel Bernoulli exprime le bilan hydraulique simplifié d'un fluide dans une conduite. Il a posé les bases de l'hydrodynamique et, d'une façon plus générale, de la mécanique des fluides.

Formulation usuelle

Pour un écoulement

• d'un fluide incompressible (on peut considérer que la masse volumique reste constante)
• irrotationnel (le rotationnel de la vitesse du fluide est nul, ce qui traduit un écoulement non tourbillonnaire, ce qui revient à dire que le champ de vitesse dérive d'un potentiel)
• d'un fluide parfait (les effets visqueux sont négligeables et pas de pertes de charges)

Alors, en régime permanent, le long d'une ligne de courant, et si l'on néglige les transferts de chaleur, on vérifie :

où :

est la pression en un point (en Pa ou N/m²)

est la masse volumique en un point (en kg/m³)

est la vitesse du fluide en un point (en m/s)

est l'accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s²)

est l'altitude (en m)

La constante intervenant dans le second membre de l'équation n'est pas universelle mais propre à l'écoulement, il s'agit d'une constante le long d'une ligne de courant, appelée charge. Avec ce choix de normalisation, elle est homogène à une longueur.

Formulations étendues

On trouve souvent d'autres formulations du théorème de Bernoulli dans des contextes plus généraux.

• Pour des fluides compressibles :

Lorsque les effets de compressibilité dans un fluide ne sont plus négligeables (vitesse des particules de fluide comparable à la vitesse du son dans le fluide), il devient nécessaire d'apporter une correction au terme caractérisant l'énergie potentielle élastique du fluide, dans le cas idéal d'un gaz parfait on a :

où est le rapport des capacités calorifiques du fluide : .

• Formulation thermodynamique :

où h désigne l'enthalpie spécifique (i.e. par unité de masse). , où u désigne l'énergie interne spécifique du fluide.

• échange d'énergie :

Dans le cas d'un écoulement d'un point A vers un point B avec échange d'énergie (présence d'une pompe ou d'une turbine), l'expression devient :

Q_V représente le débit-volume du fluide (en m3/s)

P représente la puissance (en watt) de la machine. P > 0 dans le cas d'une pompe (la puissance est reçue par le fluide) et P < 0 dans le cas d'une turbine (la puissance est fournie par le fluide).

Interprétation

Cette équation traduit en fait le bilan de l'énergie le long d'une ligne de courant :

• est la densité volumique d'énergie cinétique (énergie cinétique par unité de volume, m étant la masse du volume V de fluide) ;
• est la densité volumique d'énergie potentielle de gravité ;
• est la densité volumique d'énergie élastique.

La loi de bilan s'écrit donc

• e_c + e_z + e_p = constante

ce qui amène à l'équation ci-dessus en divisant par ρ·g.

Applications

• À vitesse nulle (v = 0), on retrouve la loi de la statique des fluides.

• Effet Venturi :

Supposons maintenant que la vitesse ne soit pas nulle, mais que l'on reste toujours à la même altitude (z constant).

Si un liquide s'écoule dans une canalisation, alors comme il est incompressible, son débit (volume transitant à travers une surface par unité de temps) est constant. Si la canalisation s'élargit, alors la vitesse diminue (puisque le débit est le produit de la vitesse par la section, les deux varient à l'inverse). Le théorème de Bernoulli nous indique alors que la pression augmente. À l'inverse, si la canalisation se rétrécit, le fluide accélère et sa pression diminue. On qualifie ce dispositif expérimental de tube de Venturi.

Ce résultat est assez peu intuitif car on s'attendrait à ce que la pression augmente lorsque la section diminue.

• Effet Magnus :

Si maintenant la conduite reste de section constante mais que l'on met un obstacle à l'intérieur ; l'obstacle diminue la section, on a donc le même effet. Si cet obstacle est un cylindre tournant, d'axe perpendiculaire à l'axe de la canalisation, alors le frottement accélère le fluide d'un côté et le ralentit de l'autre. On a donc une diminution de pression d'un côté et une augmentation de l'autre, le cylindre subit une force : c'est l'effet Magnus (l'on considère souvent l'effet Magnus dans l'air, qui est un fluide compressible, mais le principe général reste le même).

Si la canalisation a une section constante, et qu'elle ne présente pas d'obstacle, alors la vitesse est constante. Si l'altitude varie, alors l'équation de Bernoulli nous indique que la pression varie à l'opposé de l'altitude.

On peut évaluer alors la pression dynamique :

• Tube de Pitot  :

Cet appareil de mesure permet d'évaluer la vitesse d'écoulement d'un fluide en mesurant la différence de pression entre deux points A et B de l'écoulement joint par une ligne de courant. Au point A, le fluide est supposé être à vitesse (quasi) nulle, on cherche la vitesse en B. Les points étant sensiblement à la même altitude, on peut appliquer le théorème de Bernoulli sous sa forme usuelle entre A et B.