Théorème de Wilson - Définition
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Introduction
En mathématiques, plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Wilson énonce qu'un entier p plus grand que 1 est premier si et seulement si la factorielle de p - 1 est congrue à -1 modulo p. Cette caractérisation des nombres premiers est assez anecdotique et ne constitue pas un test de primalité efficace. Son principal intérêt réside dans son histoire et dans la relative simplicité de son énoncé et de ses preuves.
Énoncé et exemples
Énoncé
Théorème de Wilson — Un entier p strictement plus grand que 1, est un nombre premier si et seulement s'il divise (p - 1)! + 1, c'est-à-dire si et seulement si:
Ici, le symbole « ! » désigne la fonction factorielle et le symbole « . ≡ . (mod .) » désigne la congruence sur les entiers.
Exemples
- Si p est égal à 2, alors (p - 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
- Si p est égal à 3, alors (p - 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
- Si p est égal à 4, alors (p - 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
- Si p est égal à 5, alors (p - 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
- Si p est égal à 6, alors (p - 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
- Si p est égal à 17, alors (p - 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 x 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.
Démonstrations
Tout d'abord, si l'entier (p - 1) ! + 1 est congru à 0 modulo p, c'est-à-dire s'il est de la forme kp pour un certain entier k, alors la relation 1 = kp -[1.2.3...(p-1)] fournit une identité de Bézout entre p et tous les entiers strictement plus petits. Ainsi p est premier avec chacun d'eux, et donc premier.
Passons à la réciproque. On suppose p premier. L'anneau Z/pZ est alors un corps, c'est-à-dire que modulo p, les classes de congruence de 1, 2, ..., p-1 sont inversibles (il s'agit juste de l'identité de Bezout). On note ce corps Fp. Les démonstrations ci-dessous reprennent le principe des trois démonstrations historiques, mais sont présentées avec la notation « moderne » (introduite par Gauss) des congruences. Elles peuventse reformuler sans celle-ci.
Démonstration de Lagrange
Le groupe Fp* des inversibles du corps Fp étant d'ordre p-1, le théorème de Lagrange sur les groupes implique que ses p-1 éléments sont racines du polynôme
![X^{p-1}-\overline1\in F_p[X]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/1/194306c3d296764f97aabe93810eab08_5be71e059a40242e06d08dd0b8fc08bd.png)
d'où, par évaluation en
Démonstration d'Euler
Euler utilise que le groupe multiplicatif Fp* est cyclique, c'est-à-dire engendré par une classe a particulière, ce qui revient à dire que les p - 1 premières puissances de a (quand l'exposant varie de 0 à p-2) forment les éléments de ce groupe. En faisant leur produit on a donc :
où l'exposant n se calcule comme somme d'une suite arithmétique :
Le nombre premier p peut être supposé impair (car pour p=2 le théorème se vérifie directement). Ainsi, p-1 ne divise pas n, tandis qu'il divise 2n. Autrement dit, an est d'ordre 2, donc égal à la classe de -1.
Démonstration de Gauss
Le principe consiste à éliminer, dans le produit des p-1 éléments de Fp*, chaque produit d'un élément par son inverse, à l'exception des éléments qui sont leur propre inverse : les racines du polynôme X2 - 1=(X - 1)(X + 1) dans le corps Fp, c'est-à-dire la classe de 1 et celle de -1. Lorsqu'on élimine, dans le produit, les paires d'inverses mutuels dont le produit vaut (la classe de) 1, il reste donc uniquement ces deux classes particulères, d'où
