Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène - Définition

Infeld et Hull et la factorisation

dans RevModPhys 23,1951,21-68 , on constate que la méthode des opérateurs d'échelle était bien connue à l'époque ( cf aussi Durand, CRAS1950,230,273):

L'idée est classique :

soit A = 1/2 -a/r -d/dr et B = 1/2 - b/r +d/dr en unités "bien choisies".

A et B sont opérateurs sur les fonctions de carrés sommables sur [0, infty[.

Ils sont opérateurs conjugués pour a = b .

et l'équation de Leibniz-S s'écrit :

A(l+1)B(l+1) Snl = (n-l-1)Snl/r

En multipliant par Snl et en sommant il apparaît immédiatement que n-1> l ; et B S = 0 pour l = n-1 d'où la valeur de S "circulaire" : S(r) = r^n .exp ( -r/2)

Qq calculs permettent de trouver que

S(n+1, l) = r A(n) S(n,l) S(n-1,l) = rB(n) S(n,l) .1/[(n-1-l)n+l)]

et toutes sortes de relations sur les polynômes de Laguerre.

L'équation du second ordre peut s'écrire : K(n,l) S(n, l-1) = A S(n,l) K(n,l) S(n,l) = B S(n, l-1) ( Durand p 449)

• Les relations de Pasternak permettant de calculer =((n, l,k)) s'en déduisent :

k+1) -2n(2k+1) +[(2l+1)²-k²] = 0

• exemples classiques
• (n,l,3) = n²/8[ 35 n^4 -35 n² -30 n²(l+2)(l-1)-3(l+2)(l+1)l(l-1)]
• (n,l,4) = n^4/8[63 n^4 -35n²(2l²+2l-3)+5l(l+1)(3l²+3l -10) +12]
• (n,l,-1) = viriel = 1/n²
• (n,l,-2) = force = 1/n^3(l+1/2)
• (n,l,-3) = force de barrière et LS = 1/n^3(l+1/2)l(l+1)
• (n,l,-4) = ion-dipôle => cf Kondratiev = [3n²-l(l+1)]/2n^5(l-1/2)l(l+1)(l+1/2)(l+3/2)
• noter l=0 pour -3 et -4 ! il faudra être prudent avec les électrons s !
• (n,l,2) = n²(5n²+1-3l(l+1))/2
• (n,l,1) = 3n²-l(l+1)]/2

Certaines se trouvent dans atome d'hydrogène