Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène - Définition
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Multiplicité (2l+1)
Le nombre quantique l est appelé nombre quantique azimutal (on voit qu'il joue, par son terme l(l+1), le même rôle que le carré du moment cinétique, L², en mécanique classique). Évidemment l'équation radiale a ramené le mouvement à UNE seule dimension, la variable radiale, avec la fonction S(r) qui doit s'annuler en r=0 ( n'oublions pas c'est S(r)/r qui intervient ) et qui doit être de carré sommable sur l'intervalle r>0 . On aura donc des valeurs propres de cette équation linéaire, dépendant donc de l , Ek,l , mais pas de m ( on dit que la multiplicité de la valeur propre est : 2l+1 ; en physique & chimie on dit : il y a dégénérescence du multiplet égale à 2l+1).
Le nombre quantique m s'appelle nombre quantique magnétique, car sous l'effet d'un champ magnétique ( effet Zeeman) l'énergie dépend alors de la valeur de m, et l'on voit une multiplicité de niveaux d'énergie, d'où la dénomination .
Enfin le nombre k , entier positif, s'appelle nombre quantique radial et donne le nombre de nœuds ( k pour knots !) de S(r) pour r > 0 .
Comme la spectroscopie est née un siècle avant la mécanique quantique, la tradition est restée d'appeler le nombre quantique azimutal l par des lettres latines :
l= 1 -> s ; l=2-> p ; l=3 -> d ; l=4 -> f et ensuite g, h .
Quand l croît, nécessairement l'énergie la plus basse va augmenter ;
Vecteur de Runge-Lenz, quantique
Champ coulombien
- Le cas de la force coulombienne (cf. mouvement keplerien ; le puits de potentiel a déjà été étudié en mécanique classique) est TRÈS PARTICULIER car il montre que n DOIT être un entier positif, indépendant de l , alors que les fonctions propres g(n,l,r) dépendent bien de deux indices n et l :
les valeurs propres de l'énergie ne dépendent pas séparément de n et de l , mais seulement de n , entier positif, qui de ce fait est appelé nombre quantique principal de couche ( avec n= 1 -> couche K , n=2 -> couche L ,..).
Ce fait, très exceptionnel pour l'énergie, ne sera plus vrai pour un potentiel V(r) quelconque, même voisin de -e²/r. Il convient donc de ne pas trop s'y attacher, sauf si l'on veut s'expliquer cette dégénérescence (anciennement appelée dégénérescence accidentelle), via le raisonnement de Pauli.
vecteur excentrboost
Si vous avez mieux , faites !
Le vecteur excentricité (cf. mouvement keplerien et invariant de Runge Lenz) existe aussi en mécanique quantique, en tant qu'opérateur observable. Il vaut :
![\hat{\vec e} = [\hat {\vec {p}} \wedge \hat {\vec {L}}-\hat {\vec {L}} \wedge \hat {\vec {p}}]- \hat {\vec {r}}/r](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/0/065cb34746bf1ffca4fcd453f2414443_72c30b32544ce28aaabea16aa78451e7.png)
Or rappelons qu'en termes d'opérateur: p^L +L^p = 2i.p.\hbar
ce qui rend légèrement différent le vecteur quantique , subtilité de l'algèbre non commutative !
Toujours en faisant les calculs d'opérateurs,
on retrouve e.L = 0 , L.e = 0 , e.H = H.e ( donc e est bon nombre quantique , et donc dans un ss-ev de la valeur propre de H , e sera stable).
![e^2 -1 = -(H/E_o)\cdot [L^2/\hbar^2 + 1]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/91141d9482e092a7fca276737e80853c_20670161a00771ac204d765c90f4cdf1.png)
Là encore un terme (+1) vient subrepticement se glisser dans les calculs ( on a pris Eo = -13.6eV):
Et [e2,Lz] = 0
Mais alors ,dans l'ECOC [H, L², Lz], e² est un bon nombre quantique, et sa valeur est dans le niveau n :
e² = 1 -1/n² -l(l+1)/n²
et par conséquent l ne peut dépasser n-1 ;
Mais on n'attendait pas cette bizarre formule !
- Et maintenant, la REVELATION pour tous ceux qui ont fait de la relativité restreinte :
Multiplions le vecteur excentricité par \hbar pour lui donner l'unité d'un moment cinétique et par n par pure commodité dans les calculs.
Nous appellerons ce vecteur \hat{\vec E} ,le vecteur excentrboost , qui est un vecteur polaire et non axial.
E commute avec L² , mais pas avec Lz : E n'est pas un bon nombre quantique dans l'ECOC [H,L²,Lz] !
MAIS, dans le sous-ev de la couche n ,
[Fλμ,Fμν] = Fλν
où le tenseur antisymétrique 4-4, F est :
0 E1 E2 E3 -E1 0 L3 -L2 -E2 0 L1 -E3 L2 -L1 0
Bon! il faudra que j'apprenne à écrire des tableaux !
(0,E) en première ligne et la matrice 3-3 antisymétrique correspondant à L².
VOILA ! l'atome d'hydrogène est invariant par SO(4) [ évidemment pour les états d'énergie positive, par SO(3,1) c'est-à-dire le groupe de Lorentz ! d'où l'idée de la notation excentrboost ! si vous trouvez mieux , rien à y redire ! ]: cela était connu de Pauli , de Fock , de Bargmann , etc. Mais à l'époque, peu connaissaient aussi bien que Pauli la relativité restreinte !
Pour démontrer ces relations, il vaut mieux avoir qq notions d'algèbre de Lie ( et des formules de trigo correspondantes), car sinon cela peut être un peu long ( 11 pages dans le ... ; et une page dans le ...).
Il "suffit" maintenant de se rendre compte que [H, Lz, Ez] forme un ECOC ( ce qui correspond en mécanique classique aux coordonnées paraboliques et à la vision spinorielle :
soit 2S = L + E et 2D = L- E
S et D sont deux moments cinétiques de carrés égaux : s(s+1)
Alors S2 − D2 = 0 et
![[S^2 + D^2 + \hbar^2]H = E_0 \cdot \hbar^2](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/3/3852805b1369fa189bb7275599cfe9ed_e1c703434657d77aeba3fbde9d4b3403.png)
C'EST FINI : H a pour valeurs propres : E_o/n² avec 4s(s+1) +1 = n²
soit n = s+s+1 , donc de dégénérescence : n² ( faire ce petit calcul !).
Voici comment depuis 1926, on eût pu enseigner l'atome d'hydrogène de Pauli (nobel en 1945 après Heisenberg, Schrodinger et Dirac en 1933).
Pourquoi cela ne s'est-il pas produit ? Vraisemblablement parce que les orbitales paraboliques étaient moins utiles que les orbitales avec les harmoniques sphériques qui privilégiaient donc l'ecoc [H,L², Lz].
