Tour d'extension quadratique - Définition

• Une tour d'extension quadratique est séparable si la caractéristique du corps est différente de deux.

Cette propriété n'est vraie que parce que le corps est choisi de caractéristique différente de deux. Remarquons que la caractéristique d'un corps est toujours un nombre premier, donc quel que soit k un entier 2^k n'est pas nul dans un tel corps. Soit alors un polynôme minimal quelconque sur K d'un élément de la tour. Son degré est une puissance de deux, sa dérivée n'est donc pas nulle. Or il est établi dans le paragraphe Cas des polynômes de l'article sur les extensions séparables qu'un polynôme irréductible est séparable si et seulement si sa dérivée est nulle, et la dérivée du monôme dominant n'est jamais nulle. Ce qui démontre la proposition.

• Une tour d'extension quadratique est de dimension 2ⁿ ou n est le nombre d'extensions emboitées.

Établissons la propriété de la dimension par récurrence sur n. Si n est égal à 1, alors la dimension est égale à deux d'après l'article sur les extensions quadratique. Si la propriété est vraie à l'ordre k et que n est égal à k+1 alors L_n est une extension quadratique de dimension deux sur L_n-1 qui est de dimension 2^n-1 par hypothèse de récurrence. Or dans le cas d'une extension intermédiaire, il existe une propriété sur les dimensions: [L_n:K] est égal à [L_n:L_n-1].[L_n-1:K] où la notation [H:K] désigne la dimension l'extension H sur le corps K en tant qu'espace vectoriel sur K. Cette propriété est démontrée comme dernière proposition du paragraphe Définitions et premières propriétés des extensions algébriques. Cette propriété permet de terminer la récurrence.

• Soit P[X] le polynôme minimal d'un élément d'une tour d'extension quadratique, alors son degré est une puissance de deux.

La dernière proposition du paragraphe Extension algébrique et sur-corps montre que dans le cas d'une extension finie un polynôme minimal a pour degré un diviseur de la dimension de l'extension. Dans le cas particulier d'une tour d'extension quadratique, cette propriété suffit pour démontrer la proposition.

• Toute extension de Galois L d'un corps K dont la dimension est une puissance de deux est une tour d'extension quadratique.

Pour le démontrer, il suffit de trouver une suite de sous-groupes emboîtés du groupe de Galois tels que le cardinal du i-ième élément de la suite soit le double du précédent, le premier groupe ne contient que l'élément neutre et le dernier le groupe de Galois entier.

Une fois l'existence d'une telle suite établie, le théorème fondamental de la théorie de Galois démontre l'existence d'une suite de corps emboitées dont chacun (à l'exception premier qui est égal à K) possède une dimension deux en tant qu'extension sur le corps précédent. Il ne reste donc plus qu'à trouver la suite de groupes emboités.

Le groupe de Galois G est d'ordre la dimension de l'extension, c'est donc un 2-groupe et il est résoluble. Il possède un centre non réduit à l'élément neutre (cf l'article p-groupe). Ce centre est un groupe abélien contenant un élément c d'ordre une puissance de deux noté 2^m avec m différent de zéro d'après le théorème de Lagrange. Soit c est d'ordre deux, soit l'élément c^m-1 est d'ordre deux. Donc dans tous les cas, le centre contient un groupe Z d'ordre deux. Ce groupe est normal car il commute avec tous les éléments du groupe de Galois. Cette propriété permet, par récurrence de construire la suite de sous-groupe emboités. Soit 2ⁿ l'ordre du groupe de Galois.

Si n est égal à 1 : alors G est un groupe d'ordre deux, la proposition est démontrée.

Supposons la propriété démontrée pour tout groupe d'ordre 2^{n - 1} et montrons-la pour G : Le sous-groupe Z est normal et d'ordre deux, G/Z est donc un groupe d'ordre 2^{n - 1}. L'hypothèse de récurrence permet de conclure.