Tour d'extension quadratique - Définition

Définition

Soient K un corps, Ω sa clôture algébrique et L_i où i parcourt l'ensemble des entiers de 0 à n une suite d'extensions de K telle que L₀ soit égal à K. Ici toutes les extensions sont identifiées à un sous-corps de Ω. Ces notations sont reprises dans toute la suite de l'article.

• La suite L_i est dite tour d'extension quadratique sur K si et seulement si pour tout i entier de 1 à n, L_i contient L_i-1 et est une extension quadratique de L_i-1.

• Une extension de K telle que toute équation du deuxième degré admette au moins une racine et soit contenue dans toutes les extensions de Ω ayant cette propriété est dite clôture quadratique. Sur le corps des nombres rationnels, ce corps est généralement appelé corps des nombres constructibles.

• Un nombre complexe est dit constructible si et seulement s'il est élément d'une extension quadratique dont le corps de base est celui des nombres rationnels.

Remarque: comme il est remarqué dans l'article extension quadratique, la théorie de Galois présente l'essentiel de ses résultats si les extensions sont séparables. C’est-à-dire si les polynômes minimaux à coefficients dans le corps de base sont séparables c’est-à-dire n'ont pas de racines multiples. C'est le cas ici si la caractéristique de K est différente de deux. Dans toute la suite de l'article, cette hypothèse est supposée vérifiée.

Remarque: une autre définition des nombres constructibles est donnée dans l'article Nombre constructible. Si le plan euclidien est identifié au plan complexe alors les deux définitions sont équivalentes comme indiqué dans l'article.

Applications

Les propriétés précédentes permettent alors de résoudre trois des problèmes de l'antiquité.

• La duplication du cube n'a pas de solution constructible à la règle et au compas.

La duplication du cube demande la résolution de l'équation algébrique X³ - 2 = 0. Cette équation n'admet pas de racine rationnelle et est de degré trois, le polynôme associé est donc irréductible. Or trois n'est pas un diviseur d'une puissance de deux. La solution, c’est-à-dire la racine cubique de deux n'est donc pas un nombre constructible.

• La construction à la règle et au compas d'un polygone ayant un nombre de côtés différent d'une puissance de deux que multiplie des nombres de Fermat distincts est impossible.

La construction d'un polygone régulier de n côtés revient à expliciter une racine p-ième primitive de l'unité. « Primitive » signifie ici que cette racine engendre toutes les autres. Or le polynôme minimal d'une racine p-ième primitive de l'unité a pour degré une puissance de deux si et seulement si p est produit d'une puissance de deux et de nombres premiers de Fermat distincts. Cette proposition est démontrée dans l'article polynôme cyclotomique. Ce qui permet de dresser la liste des polygones réguliers constructibles.

• La construction à la règle et au compas d'un polygone ayant un nombre de côtés égal à une puissance de deux que multiplie des nombres de Fermat distincts est possible.

L'article sur le polynôme cyclotomique montre que le corps de décomposition d'une racine primitive est une extension abélienne dont la dimension est une puissance de deux. Les conditions sont alors réunies pour affirmer qu'une racine primitive est alors élément d'une tour d'extension quadratique et est donc constructible.

• la trisection de l'angle n'a pas de solution constructible à la règle et au compas dans le cas général.

Il existe des cas particulier où la trisection est réalisable. Par exemple l'angle de mesure 2.π est divisible en trois parties égales, ce qui permet de construire un triangle équilatéral.

On remarque que neuf n'est pas dans la liste des polynômes constructibles. Celui à trois côtés l'est. Il n'est donc pas possible de réaliser la trisection de l'angle 2.π / 3. Il n'existe donc pas dans le cas général de possibilité de réaliser une trisection d'angle.

Clôture quadratique

• L'ensemble des nombres constructibles possède une structure de corps. Ce corps est algébrique.

Il suffit de montrer que si x et y sont constructibles, alors leurs somme, produit, inverses et opposés le sont. Il existe une démonstration graphique donnée dans l'article nombre constructible ; nous proposons ici une démonstration algébrique.

Soit L_1x, ...,L_nx (respectivement (L_1y, ...,L_my)) la tour d'extension quadratique de x (respectivement y). Alors il existe une suite y_j telle que L_jy soit égal à L_j-1y(y_j). Notons alors la suite (F_jy) de corps définie par L_0y est égal à L_nx et F_jy est égal à F_j-1y(y_j ). C'est une suite croissante de corps où chaque élément est soit égal au précédent soit une extension quadratique. Il est donc possible d'en extraire une sous-suite définissant une tour d'extension quadratique. Le dernier élément de cette tour contient les éléments cités dans la proposition. Ce qui termine la démonstration.

Tout corps dont tous les éléments ont une racine carrée, c’est-à-dire tel que tout polynôme du deuxième degré est scindé, contient le corps des nombres constructibles. En conséquence, la proposition suivante est vérifiée:

• L'ensemble des nombres constructibles est la plus petite clôture quadratique de K.

• La plus petite clôture quadratique du corps des nombres rationnels est une extension algébrique de dimension infinie.

Tout élément de cette clôture est constructible et tout nombre constructible est algébrique, l'extension est donc algébrique. Soit une tour d'extension quadratique ; il est toujours possible de lui adjoindre un nouveau corps qui est l'extension associée à un polynôme du type X²-a où a est un élément de la dernière extension de la tour et n'ayant pas son carré dans cette extension. Ce procédé permet d'exhiber une tour dont le dernier élément est de dimension double de la précédente. En conséquence quel que soit n il existe une extension de dimension 2ⁿ. Ce qui montre que la clôture n'est pas de dimension finie.

• La seule tour d'extension algébrique des nombres réels est de dimension deux. Cette extension est isomorphe au corps des complexes.

La démonstration est donnée dans l'article Théorème de d'Alembert-Gauss ; elle est une étape d'une démonstration possible du fait que les complexes forment un corps algébriquement clos.