Tour d'extension quadratique - Définition

Introduction

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, dans le cadre de la théorie de Galois, une tour d'extension quadratique est une suite de corps L₀, L₁, ...,L_n ayant les propriétés suivantes : si i est un entier entre 1 et n alors L_i-1 est inclus dans L_i et L_i est une extension quadratique de L_i-1.

Une tour d'extension quadratique possède en général des propriétés fortes. Si le corps de base n'est pas de caractéristique deux alors c'est une extension algébrique finie et séparable.

Le concept de tour d'extension quadratique est celui qui permet de démontrer le théorème de Gauss-Wantzel et de clore trois des grandes questions ouvertes des mathématiques de l'antiquité, à savoir la duplication du cube, la trisection de l'angle et d'élaborer la liste des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas.

Motivation

Historiquement, c'est l'analyse des polynômes cyclotomiques par Carl Friedrich Gauss qui introduit l'origine de l'idée d'une tour d'extension quadratique. Dans son livre Disquisitiones arithmeticae publié en 1801, il rédige une méthode de résolution du polynôme cyclotomique d'une racine primitive dix-septième de l'unité et en déduit une construction à la règle et au compas de l'heptadécagone c’est-à-dire le polygone régulier à dix-sept côtés.

Les progrès réalisés par Evariste Galois permettent alors une compréhension beaucoup plus profonde des extensions algébriques. Plusieurs résultats sur la construction à la règle et au compas deviennent alors démontrables. Il suffit d'établir la relation entre un nombre constructible et une tour d'extension quadratique. En fait un nombre est constructible si et seulement s'il est élément d'une tour d'extension quadratique dont le premier élément est le corps des nombres rationnels.

Pierre-Laurent Wantzel dans un article de 1837 intitulé Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas formalise le concept de tour d'extension quadratique établit la relation avec les nombres constructibles. Cette technique ne traite néanmoins que des extensions finies. Le dernier problème antique, à savoir la quadrature du cercle demande le développement d'autres techniques, sur les nombres transcendants pour pouvoir être résolu. Ce résultat sera démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann .

Si la notion d'extension quadratique se marie harmonieusement avec les racines primitives de l'unité constructibles, dans le cas général, elles ne sont pas des extensions de Galois, en conséquence leur utilité est essentiellement restreinte à la compréhension des propriétés des nombres constructibles.

Exemples

Toute extension quadratique est une tour d'extension quadratique. Ainsi le corps des nombres complexes est une tour d'extension quadratique sur les nombres réels. Il en est de même pour le corps généré par la racine carrée de deux sur le corps des nombres rationnels. En revanche, la notion de tour d'extension quadratique n'est pas vraiment pertinente dans ce cas car la suite ne comporte qu'un unique élément, le concept d'extension quadratique est donc suffisant.

Soit n un entier tel que sa fonction indicatrice d'Euler soit un nombre premier de Fermat ; alors l'extension cyclotomique d'une racine primitive de l'unité se décompose en tour d'extension quadratique. Ce résultat est établi dans l'article polynôme cyclotomique pour les cas cinq et dix-sept. Il est établi de manière générale dans le paragraphe sur les propriétés des tours d'extension quadratique.

Soient a un entier et r une racine p-ième de a telle que p soit une puissance de deux. Alors a est inclus dans une tour d'extension quadratique de longueur p. En effet, si p est noté p = 2ⁿ alors une simple récurrence sur n permet de conclure. Si n est égal à 1 alors r est racine de l'équation X² - a donc r est élément d'une extension quadratique et donc d'une tour d'extension quadratique. Supposons le résultat établi à l'ordre k et que n soit égal à k+1. Alors par hypothèse de récurrence, la racine carré s de r est élément d'une tour d'extension quadratique, L₀, ...,L_k. Or r est solution de l'équation X² - s, r est donc élément d'une extension quadratique de L_k que l'on note L_k+1. Ce qui démontre le résultat. En revanche, cette extension ne contient pas toutes les bonnes propriétés. Elle n'est pas normale dans le cas général. Considérons le cas où n est égal à deux. Deux des quatre racines du polynôme minimal de la racine quartique de deux sont complexes, or l'extension ne l'est pas.