Valeur propre (synthèse) - Définition

Réduction d'endomorphisme

On se placera en dimension finie. L'étude des valeurs propres permet de trouver une forme plus simple des endomorphismes, c'est ce qu'on appelle leur réduction.

Diagonalisation

Il existe un cas particulier où la connaissance des vecteurs propres et des valeurs propres associées induit le comportement exhaustif de l'endomorphisme. C'est le cas lorsque l'endomorphisme est diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe une base de vecteurs propres. Des exemples numériques sont donnés dans l'article Matrice diagonalisable. Les critères suivants sont tous des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable:

• Il existe une base de vecteurs propres
• la somme des espaces propres engendre l'espace entier
• la somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de l'espace entier
• le polynôme minimal est scindé sur K et à racines simples. (Démonstration dans Polynôme d'endomorphisme.)
• tout espace propre possède une dimension égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée.
• toute représentation matricielle M de u est diagonalisable, c'est-à-dire peut s'écrire sous la forme M = P ^{− 1}DP avec P et D respectivement matrices inversible et diagonale.

À ces propriétés équivalentes s'ajoutent les implications suivantes :

• S'il existe n valeurs propres distinctes, alors l'endomorphisme est diagonalisable.
• Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors le polynôme caractéristique est scindé.

Dans le cas complexe (c'est-à-dire où le corps de nombre est celui des complexes) cette propriété est presque partout vraie au sens de la mesure. Au sens de la topologie l'ensemble des endomorphismes diagonalisables est dense.

Décomposition de Dunford

• Soit u un endomorphisme de E. Si u admet un polynôme minimal scindé, alors il peut s'écrire sous la forme u = d+n avec d diagonalisable et n nilpotent tels que d.n=n.d. De plus d et n sont des polynômes en u.

Représentation de Jordan

On se place dans un espace vectoriel sur algébriquement clos.

La représentation de Jordan prouve que tout endomorphisme u sur E est trigonalisable. Elle démontre que toute réduction de l'endomorphisme à l'espace caractéristique E_i associé à la valeur propre λ_i possède une représentation formée de blocs de la forme suivante

appelés bloc de Jordan et que l'endomorphisme possède une représentation matricielle sous la forme

où les scalaires λ_i sont les valeurs propres de l'endomorphisme considéré et un bloc de Jordan associé.