Variété algébrique affine - Définition

Faisceau des fonctions régulières

Lorsque k est algébriquement clos et A est réduit, tout élément f de A peut s'identifier à une application , qui à tout idéal maximal m associe la classe de f dans A / m = k. Lorsque , cette application n'est autre que l'application polynomiale associée à f lorsque Spm(A) est identifié à kⁿ par le théorème des zéros de Hilbert.

Par analogie, dans le cas général (k quelconque, et A non nécessairement réduit), les éléments de A sont appelés des fonctions régulières sur Spm(A) (par opposition aux fonctions rationnelles qui peuvent avoir des pôles). Et puisque la localisation A_f a pour spectre maximal D(f), il est naturel d'appeler les éléments de A_f des fonctions régulières sur l'ouvert D(f).

Pour définition les fonctions régulières sur des ouverts quelconques de Spm(A), nous avons besoin de la notion de faisceaux sur Spm(A).

Pour tout ouvert U, les éléments de O_X(U) sont appelés des fonctions régulières sur U. Le couple X,O_X est un espace localement annelé. Et le faisceau O_X est appelé le faisceau structural de (X,O_X).

Exemples

• Si et si U est un ouvert, réunion d'ouverts principaux , alors , où f est un pgcd des f_i. Attention que en général.

• Supposons A intègre de corps des fractions K. Alors toute localisation de A se plonge canoniquement dans K. Les fonctions régulières sur un ouvert U sont alors les fractions α telle que pour tout ouvert principal D(f) contenu dans U, α peut s'écrire sous la forme g / fⁿ pour un et un entier naturel n. Comme f ne s'annule jamais dans D(f) (c'est-à-dire que f n'appartient à aucun idéal maximal dans ) , α est une fraction rationnelle sans pôle dans U en un certain sens.

Si est un morphisme de k-algèbres, quit induit une application continue , alors on a un morphisme d'espaces localement annelés dont l'application continue sous-jacente est f, et le morphisme d'anneaux est φ.

Dimension de Krull

On définit désormais une variété algébrique affine comme Spm A, avec A une K-algèbre de type fini. Une variété affine est alors naturellement munie de la topologie de Zariski. Ici nous ne considérons que le spectre maximal et non la totalité du spectre premier, il n'y a donc pas de points génériques et les variétés affines vérifient l'axiome de séparation T₁, au lieu de T₀.

Avec la topologie de Zariski on a une bonne définition de la dimension, la dimension de Krull, qui coïncide avec l'intuition sur les cas simples.

Premières propriétés

• Un morphisme de variétés affines est uniquement déterminé par un morphisme de k-algèbres et le morphisme f est celui qui est associé à φ comme plus haut. Ainsi un morphisme

est toujours donné par un morphisme de k-algèbres tel que . Au plan ensembliste (si k est algébriquement clos), le morphisme envoie un point sur , où . C'est une application polynomiale.

• Toute sous-variété fermée d'une variété affine Spm(A) est une variété affine Spm(A / I) pour un idéal I.

• Pour tout , la variété affine Spm(A_f) est une sous-variété ouverte de Spm(A) dont l'espace sous-jacent est D(f).

• En général, il existe des sous-variétés ouvertes affines de Spm(A) qui ne sont pas de la forme Spm(A_f), et il existe des sous-variétés ouvertes qui ne sont pas affines.