Fonction zeta d'Hurwitz
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En mathématiques, la fonction zeta d'Hurwitz est une des nombreuses fonctions zeta. Elle est définie comme suit :

\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}\,.

Elle s'étend par prolongement analytique à tout nombre complexe s différent de 1, et à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe q qui n'est pas entier négatif.

Quand q = 1, ceci coïncide avec la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann.

Relation avec les fonctions L de Dirichlet

En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique,...) Q sont des combinaisons linéaires, à coefficients constants, de \zeta(s,q)\,q = r/Q et r = 1, 2, ..., Q. Ceci veut dire que les fonctions Zeta (ZETA est un système d'exploitation de la société allemande YellowTAB. Il est une évolution de BeOS.) d'Hurwitz pour un nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté .) q ont des propriétés analytiques qui sont étroitement liées à la classe des fonctions L.

Précisément, soit \chi\, un caractère de Dirichlet mod Q. Alors, nous pouvons écrire la fonction L de Dirichlet sous la forme

L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s} =  \frac {1}{Q^s} \sum_{k=1}^Q \chi(k)\; \zeta (s,\frac{k}{Q}).

Formule d'Hurwitz

La formule d'Hurwitz est le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) qui énonce

\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]

\beta(x;s)= 2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}= \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})

est une représentation de zeta qui est valide pour 0\le x\le 1 et s > 1. Ici, \mbox{Li}_s (z)\, est la fonction polylogarithme (La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction remarquable et peut être définie pour tout s et |z|).

Relation avec les polynômes de Bernoulli

La fonction β définie ci-dessus généralise les polynômes de Bernoulli :

B_n(x) = -\Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right]

\Re z représente la partie réelle de z. De manière alternative,

\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\,

Relation avec la fonction polygamma (En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est définie comme la m+1 -ième dérivée logarithmique de la fonction gamma :)

La fonction zeta d'Hurwitz généralise la fonction polygamma :

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z)\,

Relation avec fonction transcendante de Lerch

La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zeta d'Hurwitz :

\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty  \frac { z^k} {(k+q)^s}\,

et ainsi

\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q)\,

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et il...)

L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zeta sur le coté gauche -et droit- du plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.). Pour les nombres entiers 1\leq m \leq n\,,

\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) =  \frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s }  \sum_{k=1}^n \cos  \left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\; \zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\,

reste valable pour toutes les valeurs de s.

Série de Taylor

La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une...) partielle de la fonction zeta est une suite de Sheffer :

\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q)\,

Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :

\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!}  \frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x)\,

Transformation de Fourier

La Transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer...) discrète de la fonction zeta d'Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre (En mathématiques, la fonction chi de Legendre est définie par).

Relation avec la fonction theta de Jacobi

Si \vartheta (z,\tau) est la fonction theta de Jacobi, alors

\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=  \pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right)  \left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]\,

reste valable pour \Re s > 0\, et z complexe, mais non pour un nombre entier. Pour z=n un entier, ceci se simplifie en

\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}=  2\  \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s) =2\  \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s)\,

\zeta\, ici est la fonction Zeta de Riemann. Cette distinction basée sur z tient compte du fait que la fonction theta de Jacobi converge vers la Fonction δ de Dirac pour z lorsque t\rightarrow 0.

Bien que la fonction Zeta d'Hurwitz est vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) par les mathématiciens comme relevant de la plus pure discipline des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...), la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des nombres, elle apparaît aussi dans les statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données...) appliquées ; voir la loi de Zipf (On nomme Loi de Zipf une observation empirique de la fréquence des mots dans un texte. Elle a pris le nom de son auteur, George Kingsley Zipf (1902-1950). Cette loi a été par la suite généralisée par Benoit...) et la loi de Zipf-Mandelbrot.

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