Matrice antisymétrique - Définition

En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposé ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :

^tA = -A

c’est-à-dire si elle est écrite avec des coefficients sous la forme A = (a_i,j):

pour tous i et j, a_i,j = - a_j,i

Par exemple, la matrice suivante est antisymétrique:

Le cas où les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique 2 est très particulier. Dans ce cas, − A = A et donc une matrice est antisymétrique ssi elle est symétrique. Dans tout ce qui suit, les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique différente de 2.

Toutes les entrées de la diagonale principale d'un matrice antisymétrique ont un zéro: en effet il faut que chaque élément de la diagonale vérifie aussi a_i,j = - a_j,i ; donc le seul nombre ayant cette caractéristique est 0 ; et ainsi la trace d'une matrice antisymétrique est nulle.

L'espace des matrices symétrique et celui des matrices antisymétrique sont supplémentaires dans l'espace des matrices carrées. En effet, toute matrice carrée se décompose de façon unique de la façon suivante :

.

Ces espaces sont mêmes orthogonaux si on munit l'espace des matrices carrés du produit scalaire canonique dont une des expressions est justement :

Les matrices antisymétriques de type (n,n) forment un espace vectoriel de dimension (n² - n)/2. La base canonique est la famille de matrices A_ij qui comportent un à la ième ligne et jème colonne et moins un à la jème ligne et ième colonne.

Dans le cas réel :

Cet espace vectoriel est l'espace tangent au groupe orthogonal O(n). Dans ce sens, nous pouvons assimiler les matrices antisymétriques à des " rotations infinitésimales ".

Toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur le corps des complexe et ses valeurs propres sont imaginaire pure. En fait, si A est symétrique réelle, iA est matrice hermitienne.

En fait, les matrices antisymétriques de type (n, n) forment une algèbre de Lie utilisant le crochet de Lie

et c'est l'algèbre de Lie associée au groupe de Lie O(n).

Une matrice G orthogonale, a un déterminant égal à 1, i.e. est un élément de la composante connexe du groupe orthogonal où se trouve la matrice unité, si précisément il existe une matrice antisymétrique A telle que: