Matrice antisymétrique
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En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposé ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :

tA = -A

c’est-à-dire si elle est écrite avec des coefficients sous la forme A = (ai,j):

pour tous i et j, ai,j = - aj,i

Par exemple, la matrice suivante est antisymétrique:

\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

Le cas où les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique 2 est très particulier. Dans ce cas, A = A et donc une matrice est antisymétrique ssi elle est symétrique. Dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce qui suit, les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application...) de 2.

Toutes les entrées de la diagonale principale (En algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite. Par exemple, la matrice carré d'ordre 2, qui suit a des 1 sur sa...) d'un matrice antisymétrique (En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposé ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :) ont un zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...): en effet il faut que chaque élément de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède ...) vérifie aussi ai,j = - aj,i ; donc le seul nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) ayant cette caractéristique est 0 ; et ainsi la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à...) d'une matrice antisymétrique est nulle.

L'espace des matrices symétrique et celui des matrices antisymétrique sont supplémentaires dans l'espace des matrices carrées. En effet, toute matrice carrée se décompose de façon unique de la façon suivante :

A = \frac{A+\,\!^tA}2+\frac{A-\,\!^tA}2.

Ces espaces sont mêmes orthogonaux si on munit l'espace des matrices carrés du produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de retrouver...) canonique dont une des expressions est justement :

(A,B) \mapsto Tr(^tA.B)

Les matrices antisymétriques de type (n,n) forment un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) (n2 - n)/2. La base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on...) est la famille \left(A_{ij}\right)_{1\leq i < j \leq n} de matrices Aij qui comportent un à la ième ligne et jème colonne et moins un à la jème ligne et ième colonne.

Dans le cas réel :

Cet espace vectoriel est l'espace tangent au groupe orthogonal (Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps , muni d'une forme quadratique q. Un automorphisme orthogonal pour cette forme quadratique est un automorphisme linéaire f du -espace vectoriel E...) O(n). Dans ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...), nous pouvons assimiler les matrices antisymétriques à des " rotations infinitésimales ".

Toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur le corps des complexe et ses valeurs propres sont imaginaire pure. En fait, si A est symétrique réelle, iA est matrice hermitienne.

En fait, les matrices antisymétriques de type (n, n) forment une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) de Lie utilisant le crochet de Lie

[A,B] = AB - BA\,

et c'est l'algèbre de Lie associée au groupe de Lie (Un groupe de Lie est un groupe — au sens mathématique — continu (c'est-à-dire dont chaque élément est infinitésimalement proche d'au moins un...) O(n).

Une matrice G orthogonale, a un déterminant égal à 1, i.e. est un élément de la composante connexe du groupe orthogonal où se trouve la matrice unité, si précisément il existe une matrice antisymétrique A telle que:

G=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}.
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