Matrice antisymétrique - Définition
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Introduction
En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est une matrice carrée opposée à sa transposée.
Définition
Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :
- tA = -A
ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si :
- pour tout i et j, ai,j = - aj,i
Propriétés
- Une matrice
- Une propriété équivalente (K étant supposé de caractéristique différente de 2) est que cette forme soit alternée, c'est-à-dire :
La forme bilinéaire associée à A est
- A est antisymétrique ssi f l'est :
- si
- si
-
- et réciproquement, si f est antisymétrique alors, en désignant par ej l'élément de Kn constitué d'un 1 en je position et des 0 ailleurs :
- f est antisymétrique ssi elle est alternée : reproduisons la preuve générale donnée dans l'article application multilinéaire.
- Si f est alternée alors elle est antisymétrique car
-
- ou encore, matriciellement :
-
-
- La réciproque est vraie sous l'hypothèse de caractéristique différente de 2 car si f est antisymétrique alors
- Toutes les entrées de la diagonale principale d'une matrice antisymétrique ont un zéro : en effet il faut que ai,i = - ai,i et dans K, le seul nombre égal à son opposé est 0 ; ainsi, la trace d'une matrice antisymétrique est nulle.
- Le déterminant d'une matrice antisymétrique de taille n est nul si n est impair (car égal à son produit par (-1)n), et est le carré du pfaffien si n est pair.
- L'espace des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sont supplémentaires dans l'espace des matrices carrées. En effet, toute matrice carrée se décompose de façon unique de la façon suivante :
-
-
-
- Lorsque le corps de coefficients est celui des réels, ces deux espaces sont même orthogonaux si on munit l'espace des matrices carrés du produit scalaire canonique dont une des expressions est justement :
- Les matrices antisymétriques de type (n,n) forment un espace vectoriel de dimension (n2 - n)/2. La base canonique est la famille
- Dans le cas réel :
Cet espace vectoriel est l'espace tangent au groupe orthogonal O(n). Dans ce sens, nous pouvons assimiler les matrices antisymétriques à des « rotations infinitésimales ».
Toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur le corps des complexes et ses valeurs propres sont imaginaires pures. En fait, si A est antisymétrique réelle, iA est hermitienne, c'est-à-dire autoadjointe.
En fait, les matrices antisymétriques de type (n, n) forment une algèbre de Lie utilisant le crochet de Lie
![[A,B] = AB - BA\,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/8/8d8ca025c6fa33a11b2ba7181ff2fc7f_0992991cda875654af1ded1863342ef5.png)
et c'est l'algèbre de Lie associée au groupe de Lie O(n).
Une matrice G est orthogonale et a un déterminant égal à 1, c'est-à-dire est un élément de la composante connexe du groupe orthogonal où se trouve la matrice unité, si et seulement si il existe une matrice antisymétrique A telle que:
