Matrice diagonale
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En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di,j) est diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède ...) si :

\forall(i,j)\ \ i \ne j,\ \ d_{i,j} = 0

Exemple :

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

On remarque qu'une matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale...) est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. En général, la matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale.

Toute matrice diagonale est aussi une matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.), une matrice normale (En algèbre linéaire, une matrice A est une matrice normale si elle vérifie l'égalité suivante: A.A * = A * .A, avec A * la matrice adjointe de A. Toutes les matrices hermitiennes sont normales.) et une matrice triangulaire (En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.). La matrice identité (En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Nous pouvons l'écrire) In est diagonale.

Utilisations

Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des...). La multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.). Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base de l'espace vectoriel constituée de...).

Une matrice presque diagonale (on la dit alors à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin.

Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres qui sont les matrices des coordonnées de n vecteurs orthonormés et ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres associées.

De plus, toute matrice d'ordre n qui possède n colonnes propres linéairement indépendantes est semblable à une matrice diagonale et toute matrice normale est unitairement semblable à une matrice diagonale. Les deux derniers résultats expliquent pourquoi les matrices diagonales sont si importantes en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...) linéaire.

Voir aussi la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive.

Notation

Comme seuls les élements de la diagonale peuvent être non nuls, une notation courante des matrices diagonales est la suivante.

diag(a_1, a_2, ..., a_k) = \begin{pmatrix} a_1    & 0      & \ldots & 0      \\ 0      & a_2    & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0      \\ 0      & \ldots & 0      & a_k \end{pmatrix}

Multiplication

Les matrices diagonales forment une sous-algèbre commutative de \mathcal{M}_n(K).

En d'autres termes, si les matrices D = diag(di) et E = diag(ei) sont diagonales, alors :

  • λD + μE = F est une matrice diagonale
  • DE = ED = G est une matrice diagonale

avec (\lambda,\mu) \in K^2 \ \ F = diag(\lambda d_i + \mu e_i) et G = diag(diei)

Ainsi les matrices diagonales peuvent simplement être multipliées coefficients par coefficients, parce que les zéros en dehors de la diagonale annulent les autres termes dans la formule de multiplication.

Une conséquence de cela est qu'élever une matrice diagonale A à une certaine puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) revient à élever les coefficients de la diagonale de A à cette puissance :

D^k = diag( d_{i,j} )^k = diag( d_{i,j}^k )

Inversion

Une matrice diagonale d'éléments diagonaux tous non nuls est toujours inversible, et l'opération est immédiate. En effet, si

A=diag(a_1, a_2, ..., a_k)=\begin{pmatrix} a_1    & 0      & \ldots & 0      \\ 0      & a_2    & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0      \\ 0      & \ldots & 0      & a_k \end{pmatrix}

alors

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/a_1    & 0      & \ldots & 0      \\ 0      & 1/a_2    & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0      \\ 0      & \ldots & 0      & 1/a_k \end{pmatrix}

On vérifie bien que

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix} 1    & 0      & \ldots & 0      \\ 0      & 1    & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0      \\ 0      & \ldots & 0      & 1 \end{pmatrix}=I_k

soit la matrice identité.

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