Compacité séquentielle - Définition

Introduction

La compacité est une propriété topologique importante qui se définit en topologie générale, à partir de la notion de recouvrement ouvert. Toutefois dans le cadre des espaces métriques (comprenant notamment les espaces vectoriels normés), il est possible d'en donner une caractérisation en termes de suites. Il est fréquent de faire prendre à cette dernière le rôle d'une définition. La notion de compacité ainsi présentée est appelée compacité séquentielle.

Plusieurs propriétés des segments de la droite réelle se généralisent aux espaces compacts, ce qui confère à ces derniers un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques. Notamment ils sont utiles pour prouver l'existence d'extrema pour une fonction numérique.

Intuitivement, un ensemble compact est « petit » et « fermé », au sens où l'on ne peut « s'en échapper ». Si on forme une suite de points de cet ensemble, ses éléments ne peuvent pas beaucoup s'éloigner les uns des autres et se concentrent sur certaines valeurs. La propriété de compacité permet également de faire passer certaines propriétés du local au global. C'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.

Cet article propose une approche progressive de la notion de compact. Ils sont présentés d'abord comme des parties fermées bornées d'un espace vectoriel réel de dimension finie, puis le cadre est élargi en se basant sur une définition séquentielle. La propriété de recouvrement, dite de Borel-Lebesgue, est enfin abordée. Les lecteurs qui souhaitent aborder directement les compacts dans le cadre de la topologie générale peuvent lire l'article compacité (mathématiques).

Première approche : fermés bornés en dimension finie

Lorsqu'on travaille sur la droite réelle, le plan usuel, ou plus généralement un espace vectoriel réel E de dimension finie, muni d'une norme, il est possible de prendre pour les compacts une définition provisoire, qui n'est équivalente à la définition générale que dans ce cadre particulier. On appellera donc partie compacte de E une partie K

• fermée, c'est-à-dire stable par passage à la limite (toute suite de points de K qui converge a sa limite dans K)
• et bornée : K peut être inclus dans une boule.

Une telle définition ne dépend pas de la norme choisie, puisqu'en dimension finie, les normes sont toutes équivalentes.

Les boules fermées de E constituent des exemples simples de compacts, mais rien n'oblige un compact à être « en un seul morceau » (voir connexité pour la formalisation de cette notion). Ainsi la réunion de deux boules fermées est encore un compact, ou également l'ensemble de Cantor.

Application à la recherche d'extrema

La compacité permet d'exhiber des extrema globaux pour les fonctions continues :

Théorème

Si f est une fonction continue définie sur un compact K, à valeurs réelles, alors f(K) est un compact de la droite réelle. Notamment f est bornée et atteint ses bornes.

La démonstration de ce théorème sera effectuée dans les deux paragraphes suivants. Quelques exemples de mise en œuvre permettent d'illustrer sa puissance.

Exemple : problème du point de Fermat.

Un triangle ABC étant donné, il est demandé de prouver qu'il existe un point M tel que la somme des distances AM+BM+CM soit minimale. On remarque d'abord qu'il est inutile de chercher M trop loin des points A,B,C. La considération de l'application continue sur un disque fermé de rayon suffisamment grand permet d'appliquer le théorème : il existe un minimum global. Ce constat peut servir de point de départ à une construction explicite.

Exemple : distance d'un point à un fermé

Soient F une partie fermée non vide de E et x un point de E. Il s'agit de prouver qu'il existe un point f de F plus proche de x que tous les autres. De nouveau, il est inutile de chercher f trop loin de x. On peut donc se limiter à l'intersection de F et d'une boule fermée, ce qui constitue un compact, et introduire la fonction distance à x qui est continue.

Remarque : le théorème sur l'image d'un compact rappelle le théorème d'analyse réelle « l'image d'un segment par une application continue est un segment ». Il n'en constitue cependant pas une véritable généralisation, puisqu'un compact n'est pas nécessairement un segment (précisément il manque l'évocation de la connexité). Enfin il ne faut pas le confondre avec l'énoncé « l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé ».

Propriété de Bolzano-Weierstrass

Soit K fermé borné. Toute suite d'éléments de K admet une valeur d'adhérence dans K, c'est-à-dire une sous-suite qui converge vers un point de K.

Cet énoncé porte parfois, assez improprement, le titre de théorème de Bolzano-Weierstrass. Le « vrai » théorème de Bolzano-Weierstrass sera évoqué plus bas.

Une stratégie de preuve est décrite dans l'article suite bornée ; elle consiste à travailler d'abord dans le cas réel où l'on dispose de propriétés de monotonie, puis à étendre au cas général.

Autre démonstration, basée sur le critère de Cauchy.

On traite d'abord un cas particulier : celui où K est un carré dans le plan usuel, d'arête de longueur unité.

Soit donc une suite d'éléments (x_n) de K. Le carré peut être découpé en quatre carrés d'arête moitié. Les termes de la suite se répartissent entre les quatre quartiers, et il y en a nécessairement une infinité dans un des quatre quartiers, qu'on note K₁. On recommence la partition en découpant K₁ en carrés d'arête un quart et en sélectionnant l'un d'eux, K₂, qui contient une infinité de termes de la suite. On construit ainsi par récurrence une suite (K_p) de carrés inclus les uns dans les autres et d'arête de longueur 2 ^{- p}, qui contiennent chacun une infinité de termes de la suite.

On prend alors un indice n₀ tel que est dans K₀, puis un indice strictement plus grand n₁ tel que est dans K₁ et ainsi de suite. On a ainsi construit une sous-suite de la suite initiale, et qui vérifie pour tous p et q

C'est donc une suite convergente par le critère de Cauchy. Sa limite reste dans le carré puisque ce dernier est fermé.

Généralisation : la démonstration peut être étendue à un cube en dimension trois, un hypercube en dimension quelconque, en adaptant simplement le nombre de morceaux du découpage. Elle s'étend ensuite à toute partie fermé borné, qui est incluse dans un tel hypercube.

Réciproquement, si une partie K de E vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass, elle est fermée et bornée.

Démonstration

La partie est fermée : si une suite de points de K converge vers l, elle admet une sous-suite qui converge dans K, mais qui converge aussi vers l, donc l est dans K

La partie est bornée, sans quoi il est possible de construire une suite d'éléments dont les normes tendent vers l'infini ; toute sous-suite est alors divergente.

Application : démonstration du théorème sur l'image d'un compact

La caractérisation des compacts par la propriété de Bolzano-Weierstrass permet de prouver le théorème sur l'image directe d'un compact par une application continue.

Démonstration

Il suffit de montrer que f(K) vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass. Si (y_n) est une suite de points de f(K), avec y_n=f(x_n), alors la suite (x_n) admet une sous-suite convergeant vers X élément de K. Par continuité, la suite des images converge vers f(X) qui appartient à f(K).

Contre-exemple en dimension infinie

Considérons l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On prend pour norme du polynôme P le maximum des valeurs absolues de ses coefficients. Soit B la boule unité fermée, elle est clairement fermée et bornée. Cependant la suite de polynômes Xⁿ, qui sont tous éléments de B, n'admet aucune sous-suite convergente (en effet deux termes de cette suite sont à distance 1). On pourrait également construire une application f, continue de E dans , telle que f(Xⁿ)=n, donc non bornée.

Dans un espace vectoriel de dimension infinie, les espaces fermés bornés ne jouissent plus tous des propriétés intéressantes d'analyse qui avaient été observées en dimension finie.