Archimédien
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

A l'origine, l'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : " Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. "

On appelle archimédien (A l'origine, l'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. ») des structures dont les éléments vérifient une propriété comparable.

Groupe

Soit (G,+,≤) un groupe commutatif totalement ordonné.

(G,+,≤) vérifie l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être...) d'Archimède ou est archimédien si et seulement si :

quels que soient les éléments a > 0 et b ≥ 0 de G ,  il existe un entier naturel n tel que n × ab.

Anneau

Soit (A,+,×,≤ ) un anneau totalement ordonné.

(A,+,×,≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif (A,+,≤) lui-même est archimédien.

Corps

Soit (K,+,×,≤) un corps totalement ordonné.

(K,+,×,≤) vérifie l'axiome d'Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif (K,+,≤) lui-même est archimédien. Un tel corps est un sous-corps du corps des réels (R,+,×,≤)

Remarques

Cet axiome intervient également comme l'axiome IV,1 du " groupe IV de continuité " dans l'axiomatique de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique...) proposée par Hilbert en 1899. Hilbert montre par exemple que la preuve de l'égalité des aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) entre deux parallélogrammes de même base et de même hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) utilise nécessairement l'axiome d'Archimède.

Hilbert montre également que, dans un corps, si on ne suppose pas la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) commutative, alors nécessairement, cette commutativité du produit découle du caractère archimédien du corps. Pour montrer que ab = ba, l'idée est de prendre un élément d arbitrairement petit, et d'utiliser le caractère archimédien du corps pour encadrer a entre nd et (n+1)d et encadrer b entre md et (m+1)d, pour deux entiers m et n. On utilise cet encadrement pour en déduire un encadrement arbitrairement petit de ab-ba et conclure que cette différence est nulle.

Exemples

Exemple 1

(\mathbb Q,+,×,≤) et (\mathbb R,+,×,≤) sont des corps archimédiens.

Exemple 2

Voici un exemple d'anneau non archimédien. Considérons l'anneau \mathbb R[X] des polynômes sur \mathbb R. Un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement...) \ P = \sum_{n} a_n \cdot X^n est caractérisé par la suite de ses coefficients (a0, ..., an, ...), nulle à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le...).

Si le polynôme Q admet pour coefficients (b0, ..., bn, ...), nous dirons que :

P < Q si et seulement s’il existe k ≥ 0 tel que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) p < k, ap = bp et ak < bk
P ≤ Q si et seulement si P < Q ou P = Q

(Il s'agit de l'ordre lexicographique sur les coefficients des polynômes)

Alors (\mathbb R[X],+,×,≤) est un anneau totalement ordonné, mais qui n'est pas archimédien. En effet, pour tout n entier, on a 0 < nX < 1.

Pour l'ordre indiqué, X est un " infiniment petit ".

Bibliographie

David Hilbert : les fondements de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...), Dunod, Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre...) 1971 ou Gabay, 1997

Page générée en 0.009 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique