Triangle de Pascal
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En mathématiques, le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne i et à la colonne j (0 ≤ ji) est placé le coefficient binomial {i \choose j}.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Utilisations

Polynômes

Le triangle de Pascal (En mathématiques, le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne i et à la colonne j (0 ≤ j ≤ i) est placé le...) est souvent utilisé dans les développements binomiaux. Par exemple

(X + 1)2 = 1X2 + 2X + 12

Notez que les coefficients de chaque monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un cortège ou d'une procession en file indienne. Il est généralement effectué la main sur l'épaule et...), sont ceux de la troisième ligne du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle »...) de Pascal, c'est-à-dire 1, 2, 1. Ainsi quand nous effectuons un développement de la forme

(X+Y)^n=a_0X^nY^0+a_1X^{n-1}Y+a_2X^{n-2}Y^2+\ldots+a_nY^nX^0,

les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1ème ligne du triangle de Pascal.

Sommations

Connaissant la formule de sommation (a+b)^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}, plusieurs propriétés apparaissent simplement.

Posons a = b = 1, on a alors 2^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,{}.

Posons a = 1 et b = -1, on a alors 0 = \sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,(-1)^i = \sum_{i=0}^n\,(-1)^i.

Connaissant ces deux égalités, dont l'une est une somme alternée, il vient que la somme des termes d'ordre 0, 2, 4,... dans une rangée est 2n − 1

Dénombrement

Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'une colonne x (en comptant à partir de 0 les colonnes) et d'une ligne y (en comptant à partir de 0 les lignes) indique le nombre de permutations possibles.

Nombres de Catalan

À partir du triangle, il existe plusieurs façons de calculer les nombres de Catalan. La plus simple est de prendre une rangée d'ordre impair et de soustraire les troisième et premier termes, sachant que la série commence par 1, 1, 2 :

6 - 1 = 5
15 - 1 = 14
28 -1 = 27
...

Ces nombres interviennent dans divers problèmes géométriques discrets.

Construction

Combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les...)

En écrivant la formule de Pascal,

pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i, {i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}

nous remarquons que le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme),...) de la ligne i et colonne j s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne i - 1 et colonne j - 1 et de la ligne i - 1 et colonne j. De plus nous savons que

{n \choose 0}={n \choose n}=1.

Nous en déduisons une méthode de construction du triangle de Pascal :

  • nous plaçons dans la colonne 0 des 1 à chaque ligne, et des 1 à chaque entrée de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n...),
  • en partant du haut et en descendant, nous complétons le triangle en ajoutant deux coefficients adjacents d'une ligne, pour produire le coefficient de la ligne inférieure, en dessous du coefficient de droite.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur...)

Cette formule se démontre simplement par récurrence :

hypothèse de récurrence: (a+b)^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}

Cette hypothèse est vraie au rang 1 :

\begin{matrix} (a+b)^1= a+b &=&{1 \choose 0}a^1b^0+{1 \choose 1}a^0b^1 \\ \ &=&a+b\\ \end{matrix}

Montrons que si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour n+1:

(a+b)^{n+1}\, =(a+b)(a+b)^n\,
=(a+b)\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}
=\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n+1-i}b^{i}+\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i} b^{i+1}
={n \choose 0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^n\,{n \choose i}a^{n+1-i}b^{i}+\sum_{i=0}^{n-1}\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i+1}+{n \choose n}b^{n+1}
={n \choose 0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^n\,{n \choose i}a^{n+1-i}b^{i}+\sum_{i=1}^{n}\,{n \choose {i-1}}a^{n+1-i}b^{i}+{n \choose n}b^{n+1}
={n \choose 0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}\,\left({n \choose i}+{n \choose i-1}\right )a^{n+1-i}b^{i}+{n \choose n}b^{n+1}
={n \choose 0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^n\,{n+1 \choose i}a^{n+1-i}b^{i}+{n \choose n}b^{n+1}
=\sum_{i=0}^{n+1}\,{n+1 \choose i}a^{n+1-i}b^{i}

La formule est vraie au rang n+1, elle est donc vraie pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n.

Matricielle

Matrice binomiale en tant que matrice exponentielle (matrices 5x5). Tous les points sont des zéros.
Matrice binomiale en tant que matrice exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme...) (matrices 5x5). Tous les points sont des zéros.

Facile à construire à partir des factorielles, il est possible de représenter le triangle de Pascal à l'aide de l'exponentielle d'une matrice : le triangle est le résultat de l'exponentielle d'une matrice dont la sous-diagonale contient 1, 2, 3, 4, …, zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation positionnelle.) ailleurs.

Informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de...)

Écrivons l'algorithme, en langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux n'allant pas nécessairement de pair) que le langage de tous les jours (voir langage...), de construction du triangle de Pascal. Notez que cet algorithme crée une nouvelle ligne à partir de la précédente.

 
 Variables: 
 Tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de 1 à 50 de tableau de 1 à 50 d'entiers c (tableau bidimensionnel) 
 Entiers i, j, n 
 
 
 n ← 10 
 c(lien)(lien) ← 1 
 pour i de 1 à n faire 
 c[i](lien) ← 1 
 c[i][i] ← 1 
 pour j de 1 à i-1 faire 
 c[i][j] ← c[i-1][j-1] + c[i-1][j] 
 
 
 afficher_tableau(c) 
 

Généralisations

La formule du binôme généralisé (La formule du binôme généralisé permet de développer une puissance réelle ou complexe d'une somme de deux termes sous forme d'une somme de série et généralise la formule du binôme de Newton.) est une importante généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent...) du triangle de Pascal, car elle permet de manipuler des nombres complexes dans la base, tout comme d'utiliser des exposants complexes.

Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre...) supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la pyramide de Pascal (En mathématiques, la pyramide de Pascal ou le tétraèdre de Pascal est une généralisation tridimensionnelle du triangle de Pascal. De la même façon que le triangle de Pascal donne les coefficients du binôme de Newton, la pyramide de...).

Curiosités

Un triangle de Sierpinsky
Un triangle de Sierpinsky

Dans ce triangle, si tous les nombres pairs sont coloriés en blanc (Le blanc est la couleur d'un corps chauffé à environ 5 000 °C (voir l'article Corps noir). C'est la sensation visuelle obtenue avec un spectre lumineux continu, d'où l'image que l'on en...) et tous les nombres impairs en noir, le triangle de Sierpinski apparaît.

Histoire

Le triangle a été décrit par Zhu Shijie en 1303 dans son livre Le Miroir de jade (Le jade est une pierre gemme très dure et tenace employée en ornementation et en joaillerie.) des quatre inconnues. Dans ce livre, Zhu présente le triangle comme une méthode ancienne (de plus 200 années avant son temps) pour déterminer les coefficients du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir...), ce qui indique que la méthode était connue des mathématiciens chinois cinq siècles avant Pascal. Elle était également connue des mathématiciens persans, par exemple al-Karaji (953 - 1029) ou Omar Khayyam au XIe siècle.

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