Conjecture des nombres premiers jumeaux
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La conjecture des nombres premiers jumeaux est un problème célèbre de la théorie des nombres qui concerne les nombres premiers.

Cette conjecture s'énonce de la façon suivante :

Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit également premier.

Une telle paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) de nombres premiers est appelée paire de nombres premiers jumeaux.

Beaucoup de chercheurs en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des nombres se sont penchés sur cette conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.). La majorité des mathématiciens pensent que la conjecture est vraie, en se basant sur des observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et...) numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.

En 1849, Alphonse de Polignac émit une conjecture plus générale d'après laquelle :

pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel k, il existe une infinité de paires de nombres premiers éloignés l'un de l'autre d'une distance de 2k.

Le cas k=1 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Résultats partiels

En 1940, Paul Erd?s démontra l'existence d'une constante c < 1 et d'une infinité de nombres premiers p tels que :

p' − p < cln(p)p' désigne le nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur...) suivant immédiatement p.

Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, Maier montra qu'une constante c < 0,25 pouvait être atteinte.

En 2003, Goldston et Yildirim ont démontré que, pour tout c > 0, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p' - p < c ln(p).

En 1966, J.R. Chen a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».), produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit 2-presque-premier).

Son approche fut celle de la théorie du crible, qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach (La conjecture de Goldbach est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques. La conjecture s'énonce ainsi :).

La conjecture de Hardy-Littlewood

Il existe aussi une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de conjecture de Hardy - Littlewood, en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des nombres premiers. Soit π2(x) le nombre de nombres premiers px tels que p + 2 soit aussi premier.

Définissons la constante des nombres premiers jumeaux C2 de la façon suivante :

C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0,6601618158468695739278121100145 ...

(ici le produit s'étend à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) des nombres premiers p ≥ 3).

Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :

\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int_2^x {dt \over (\ln t)^2}

(ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1 quand x tend vers l'infini).

Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(t) est la fonction de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...) de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. La justification numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) derrière la conjecture de Hardy-Littlewood est tout à fait impressionnante.

Voir aussi: nombres premiers jumeaux, constante de Brun (En mathématiques, la constante de Brun des nombres premiers jumeaux (ou plus simplement constante de Brun) est la somme de la série des inverses des nombres premiers...), Conjecture de Dubner

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