Lemme (mathématiques)
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En mathématiques et en logique mathématique, un lemme est un résultat intermédiaire sur lequel on s'appuie pour conduire la démonstration d'un théorème plus important.

En effet, la méthode de démonstration d'un théorème est souvent la suivante :

  1. on veut démontrer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) T à partir d'une certaine liste d'axiomes et d'autres résultats déjà démontrés mais cela n'a pas l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...) évident au premier abord,
  2. mais on se dit que, si on savait L vrai (L étant alors une autre assertion (Dans la langue française, le mot assertion (n,f) représente une vérité absolue : il définit une proposition reconnue comme vraie. -> voir Wiktionary) dénommée lemme), on pourrait conclure immédiatement étant donné les règles de logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...) admises,
  3. on pose alors L comme le résultat à démontrer et on lui applique une méthode de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir...) de théorème,
  4. une fois L démontré, on en déduit T.

Ce principe est notamment utilisé par les logiciels appelés assistants de preuve tels Coq (Le coq est le représentant mâle adulte, principalement de plusieurs espèces presque exclusivement de galliformes, en partіculier le coq domestique. Sa femelle est la...) ou PVS (PVS(Prototype Verification System) est un assistant de preuve développé par le laboratoire d'informatique de SRI International, notamment par le Dr Natarajan Shankar et Sam Owre.).

Certains lemmes démontrés deviennent plus célèbres que le théorème pour lequel ils ont été créés et restent connus sous le nom " Lemme de XXX " bien que jouant habituellement un rôle de théorème.

Exemples de lemmes célèbres

  • lemme de Zorn : célèbre pour être équivalent à l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit...) du choix dans la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) ZF — joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.) donc aussi bien le rôle d'un théorème conséquence de cet axiome que celui d'une reformulation de l'axiome (donc d'un axiome),
  • lemme de l'étoile : théorème de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée...) des langages formels, devenu plus célèbre que le théorème de l'étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la Terre.),
  • lemme des bergers (Le lemme des bergers est une propriété triviale utilisée en mathématiques, notamment en analyse combinatoire.),
  • lemme de Bézout.
  • lemme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce...)

Voir la liste complète des lemmes.

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