Calcul intégral
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Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de...)

Le calcul intégral (Le calcul intégral est la deuxième des idées du calcul infinitésimal.) est la deuxième des idées du calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires:).

Primitives

Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\,. Une fonction F\, est une primitive de f\, sur l’intervalle I\, si F\, est dérivable sur I\, et si pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x\, de I\,, F' (x) = f(x)\, .

Théorème :

Si f\, est une fonction continue sur un intervalle I\,, alors il existe au moins une fonction F\, dérivable sur I\, telle que f\, soit la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) de F\, sur I\,. F\, est alors une primitive de f\, sur I\,.

Par exemple, si f\, est définie sur \R\, par f\colon x \mapsto 6x, alors la fonction F\, définie sur \R\, par F\colon x \mapsto 3x^2\, admet pour dérivée f\,, et donc F\, est une primitive de f\, sur \R\,.

Un autre exemple, si f\, est définie sur \R par f \colon x \mapsto 3x^2 + 2x + 1\,, alors la fonction F\, définie sur \R par F\colon x \mapsto x^3 + x^2 + x + 1\, est une primitive de f\, sur \R\,.

Remarque :

Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\,.

Si F\, est une primitive de f\, sur I\,, alors pour toute constante k\,, la fonction G\, définie sur \R par G\colon x \mapsto F(x) + k\, est aussi une primitive de f\, sur I\, car la dérivée d'une application constante est la fonction nulle.

Nous en déduisons que si f\, admet une primitive sur I\, alors elle en admet une infinité.

Proposition :

Deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante.

En effet soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\,, F\, et G\, deux primitives de f\,.

Nous avons F' = G' = f\, donc (F - G)' = 0\,.

I\, étant un intervalle, nous en déduisons qu’il existe C\, une application constante définie sur I\, telle que F - G = C\, soit F = G + C\,

Ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des primitives d’une fonction sur un intervalle

Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\,.

Si f\, admet une primitive F\, sur I\,, alors l'ensemble des primitives de f\, sur I\, est l'ensemble des fonctions G\, de la forme :

G : I \rightarrow \R\,
x \mapsto F(x) + k\,

k\, est une constante réelle.

Par exemple, si f\, est la fonction définie sur \R\, par :

pour tout réel x\,, f(x) = 4x - 2\,

alors la fonction F\, définie sur \R\, par

pour tout réel x\,, F(x) = 2x^2 - 2x\,

est une primitive de f\, sur \R\, et donc toutes les primitives de f\, sur \R\, sont les fonctions de la forme :

\R\, \rightarrow \R\,
x \mapsto 2x^2 - 2x + k\,

k\, constante réelle.

Conséquences :

  • La fonction nulle sur un intervalle I\,, admet comme primitives les fonctions constantes sur I\,.
  • Soit I\, un intervalle, a\, un réel de I\, et b\, un réel quelconque.
    Il existe une et une seule primitive F\,, d’une fonction f\, continue sur I\,, telle que F(a)=b\,.
    F\, est appelée la primitive de f\, sur I\, vérifiant la condition initiale : F(a) = b\,.

Question :

Soit f\, l’application définie sur \R\, par :

pour tout réel x\,, f(x) = 7x - 3\,

Quelle est la primitive de f\, vérifiant la condition initiale F(1)=1\, ?

Réponse:

On calcule d'abord la forme générale des primitives de f\,:

  • une primitive de 7x\, est {7 \over 2}x^2\, ;
  • une primitive de -3\, est -3x+k\, ;
  • la forme générale recherchée est F(x)={7 \over 2}x^2-3x+k\,.

Reste maintenant à trouver la valeur de k\, telle que F(1)=1\,.

On résout l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) {7 \over 2}*1^2-3*1+k=1\, et on obtient k={1 \over 2}\,.

Conclusion : F(x)={7 \over 2}x^2-3x+{1 \over 2}\,.

Intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un...)

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de l’intégrale à partir de la notion de primitive

Soit f\, une fonction définie sur un intervalle I\, et admettant des primitives sur I\,. Soient a\, et b\, dans I\,. Soit F\, une primitive de f\, sur I\,.. Nous appelons intégrale de a\, à b\, de f\,, le nombre :

F(b) - F(a)\,

qui ne dépend pas du choix de la primitive de f\,, puisque les primitives de f\, sur l’intervalle I\, diffèrent d’une fonction constante. Nous notons ce nombre :

\int_a^b f(t) dt\,

qui se lit " intégrale de a\, à b\, de f\, ", et nous pouvons aussi le noter

\left[F(t)\right]_a^b\,

qui se lit " F\,. pris entre a\,. et b\,. "

Dans la notation avec le symbole ?, t\, joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et...) le rôle d’une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat...) muette, et nous avons

\int_a^b f(t) dt=\int_a^b f(x) dx=\ldots\,,

de plus le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) représenté par cette intégrale ne dépend pas de t\,.

Remarquons dans le cas où f\, est continue sur I\,, que l’application G\, définie sur I\, :

G:x\mapsto\int_a^x f(t) dt=F(x)-F(a)\,

n’est autre que la primitive de f\, qui s’annule en a\, et cette fonction G\, est donc la seule fonction dérivable sur I\, telle G'=f\, et G(a) = 0\,.

Nous avons donc

\int_a^a f(t) dt=F(a)-F(a)=0\,

Propriétés de l’intégrale

Linéarité de l'intégrale

Si f\, et g\, sont deux fonctions définies sur un intervalle I\, et admettant des primitives sur I\,, alors la fonction f+g\, admet aussi des primitives sur I\, et pour tout a\, et tout b\, de I\,, on a :

\int_a^b (f(t)+g(t)) dt=\int_a^b f(t) dt +\int_a^b g(t) dt \,

De plus, si \lambda\, est un réel quelconque alors la fonction \lambda\, f\, admet des primitives sur I\, et :

\int_a^b \lambda f(t) dt=\lambda\int_a^b f(t) dt\,

Relation de Chasles

Soient a\, et b\, deux réels de l’intervalle I\,. Si f\, une fonction définie sur I\, et admettant des primitives sur I\,, alors pour tous a\,, b\, et c\, dans I\,

\int_a^c f(x) dx= \int_a^b f(x) dx+ \int_b^c f(x) dx\, (relation de Chasles)

En effet si F\, est une primitive de f\, sur I\, alors :

F(b) - F(a) = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c))\,.

En prenant a = b\, dans la relation de Chasles, nous obtenons :

\int_a^c f(x) dx=-\int_c^a f(x) dx\,

en effet

0=\int_a^a f(x) dx= \int_a^c f(x) dx+ \int_c^a f(x) dx\,

Positivité de l’intégrale

Soit f\, une fonction définie sur l'intervalle I\, qui admet des primitives sur I\,, et si a\, et b\, sont deux réels dans I\, tels que a < b\,.

Si pour tout réel x\, de \left [a, b \right ]\,, f(x) \geq 0\, alors

\int_a^b f(x) dx\geq 0\,

En effet sous cette condition, toute primitive de f\, sur l’intervalle I\, est croissante.

Conséquences :

Croissance de l’intégrale

Si f\, et g\, admettent des primitives sur I\, et si pour tout x\, dans \left[a, b \right]\,, f(x) \leq g(x)\, alors

\int_a^b f(x) dx\leq \int_a^b g(x) dx\,

(il suffit de poser h=g\ - f\, et d'utiliser la positivité et la linéarité de l’intégrale)

Inégalité de la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous...)

S’il existe m\, et M\, des réels tels que pour tout x\, dans \left[a, b\right]\,, m \leq f(x) \leq M\,, alors

m(b-a)\leq \int_a^b f(x) dx\leq M(b-a)\,

S’il existe un réel M\, tel que pour tout x\, dans \left[a, b\right]\,, \left|f(x)\right| \leq M\,, alors

\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leq M(b - a)\,

S’il existe un réel M\, tel que pour tout x\, dans I\,, \left |f(x)\right| \leq M\,, alors pour tout a\, et tout b\, dans I\,,

\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leq M|b - a|\,

Forme simple du premier théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) de la moyenne

Si f\, est continue sur I\,, alors pour tout a\, et tout b\, dans I\,, il existe un réel c\, compris entre a\, et b\, tel que :

\int_a^b f(x)dx=f(c)(b - a)\,

Valeur moyenne d'une fonction

Si f\, admet des primitives sur un intervalle I\,, si a\, et b\, sont dans I\, tels que a\,<b\,, nous appelons valeur moyenne de f\, sur \left[a, b\right]\,, le nombre :

\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\,

Parité

Soit f\, une fonction qui admet des primitives sur un intervalle I\, centré en 0. Si a\, est un réel, tel que a\, et -a\, appartiennent à I\,, alors:

  • si f\, est paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :), \int_{-a}^{a} f(x)dx= 2\int_0^{a} f(x)dx\,
  • si f\, est impaire, \int_{-a}^{a} f(x)dx=0\,

Intégrale et aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.)

Un cas particulier :

Soient a\, et b\, deux réels tels que a < b\,. Soit f\, une fonction constante sur \left[a, b\right]\, et soit c\, tel que

pour tout réel x\, de \left[a, b\right]\,, f(x)\,=c\,

Alors l’intégrale de a\, à b\, de f\, est égale à c(b\,-a)\, et représente l’aire algébrique du rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) de sommets (a, 0)\,, (b, 0)\,, (b, c)\, et (a, c)\,.

Théorème :

Soient a\, et b\, deux réels tels que a < b\,. Soit f\, une fonction continue sur \left[a, b\right]\,. Soit (x_0\,, x_1\,, …, x_n)\, une suite strictement croissante de points partageant le segment \left[a, b\right]\, en n\, intervalles de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...)

\frac{b-a}{n}\,

Nous avons alors pour tout i\, compris entre 0\, et n\,,

x_i=a+i.\frac{b-a}{n}\,

Alors la somme

\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)\,

tend vers \int_a^b f(t) dt\, lorsque n\, tend vers +\infty\,.

Interprétation graphique :

Cette somme (appelée somme de Riemann) représente graphiquement la somme algébrique des aires des rectangles de gauche et est une valeur approchée de \int_a^b f(t) dt\,.

Si f\, est une fonction positive continue sur \left[a, b\right]\, et si \mathcal C\, est la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des...) représentative de f\, dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O\, ; i\,, j)\,, \int_a^b f(t) dt\, est la mesure de l’aire du domaine du plan ? délimité par \mathcal C\,, l’axe des abscisses O\, x\, et les droites d’équations x\,=a\, et x\,=b\,. L’unité d’aire étant l’aire du rectangle O\, I\, K\, J\,.

Méthodes de calcul d'une intégrale

Calcul direct à l'aide des primitives usuelles

Intégration par parties

Théorème :

Soit I\, un intervalle. Soient f\, et g\, deux fonctions dérivables sur I\, telles que les fonctions f'\, g\, et f\, g'\, soient continues sur I\,. Soit a\, un réel dans I\,. Alors, pour tout réel x\, dans I\,

\int_a^x f^{\prime}\left( t\right) g\left( t\right) dt=\left[f\left( t\right) g\left( t\right)\right]_a^x -\int_a^x f\left( t\right) g^{\prime }\left( t\right) dt\,

En particulier :

Théorème :

Soient a\, et b\, deux réels tels que a < b\,. Soient f\, et g\, deux fonctions dérivables sur \left[a, b\right]\, et telles que les fonctions f'\,, g\,, f\, et g'\, soient continues sur \left[a, b\right]\,. Alors :

\int _{a}^{b}f^{\prime}\left( t\right) g\left( t\right) dt=\left[ f\left( t\right) g\left( t\right) \right] _{a}^{b}-\int _{a}^{b}f\left( t\right) g^{\prime }\left( t\right) dt\,

On peut généraliser cette formule aux fonctions de classe Ck + 1

\int_{a}^{b} f^{k+1}(x) g(x)\,dx = \left[ \sum_{n=0}^{k}(-1)^{n} f^{k-n}(x) g^{n}(x) \right]_{a}^{b} + (-1)^{k+1} \int_{a}^{b} f(x) g^{k+1}(x) \,dx

Intégration par la méthode des résidus

Calcul numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) approché d'une intégrale

On considère ici le cas d'une fonction f\, définie sur \left [a, b \right ]\,. On définit le " pas " d'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour...) h\, de la manière suivante : h = \frac{b-a}{n}\,; n\, détermine la précision de l'approximation. On définit aussi x_i = a +ih\,.

Méthode des rectangles

La méthode des rectangles revient à une approximation de f\, par une fonction en escalier (L’escalier est une construction architecturale constituée d'une suite régulière de marches, les degrés, permettant d'accéder à un étage, de passer d'un niveau à un autre en...), avec n\, " marches " de longueur h\,. La valeur approchée R\, de l'intégrale vaut alors :

R = h \sum_{i = 0}^{n - 1} f(x_i)\,.

Méthode des trapèzes

On utilise une fonction continue affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) par morceaux approchant la fonction à intégrer et égale à celle-ci sur les points de la subdivision en n \, sous-intervalles égaux de l'intervalle d'intégration \left[ a , b \right]\, pour obtenir une approximation de la valeur de son intégrale sur \left[ a , b \right]\,.

En remplaçant par des trapèzes les rectangles utilisés précédemment, on obtient :

R = h\left[ \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \right]\,.

On peut déterminer la précision de cette approximation en utilisant la formule suivante :

\left| I - R \right| \leq \frac{M(b - a)^3}{12n^2}\,M\, est la borne supérieure de la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) de la dérivée d'ordre 2 de f\, sur [a;b]\, et I \, la valeur exacte de l'intégrale.

Méthode de Simpson

On utilise maintenant des paraboles que l'on fait passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) par trois points consécutifs du découpage en 2n\, segments de l'intervalle d'intégration de f\,.

On s'appuie sur le résultat exact suivant où P\, est une fonction polynomiale de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) deux :

Si a\,, b\, et c\, sont trois réels tels que c = \frac{(b+a)}{2}\,, alors \int_{a}^{b} P(x)\, dx = \frac{(b-a)}{6}\begin{pmatrix} f(a)+4f(c)+f(b) \end{pmatrix}\, On obtient alors une valeur approchée de I\, avec la formule suivante :

R = \frac{h}{6} \left[ f(a) + f(b) + 4 \sum_{i=0}^{n-1}f(x_{2i+1}) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_{2i}) \right]\,h = \frac{b-a}{n} et x_k = a + k\frac h2

On peut ici aussi déterminer la précision de la méthode, avec la formule suivante :

\left| I - R \right| \leq \frac{M(b - a)^5}{2880n^4}\,M\, est la borne supérieure de la valeur absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à...) de la dérivée d'ordre 4 de f\, sur [a;b]\, et I\, la valeur exacte de l'intégrale.

Méthode de Gauss-Legendre

On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre (Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre :). pour le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un...) \left\langle f|g \right\rangle =\int_{-1}^{+1} f(x)g(x)\, dx \,

Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment \left[ a , b \right]\,

Il suffit de réaliser une application affine de \left[ a , b \right]\, sur \left[ -1 , +1 \right]\,, et de remarquer que

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \frac{(b-a)}{2}\int_{-1}^{+1}f\begin{pmatrix} \frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}x\end{pmatrix}\, dx \approx \frac{b - a}{2}\sum_{k = 1}^{n} {m\left( {x_k } \right)} f(\frac{b - a}{2}x_k  + \frac{b + a}{2})\,

x_k\, sont les racines du polynôme de Legendre (Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre :) de degré n\,

et où m\left( {x_k } \right)\, sont les poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de la...) de ces racines, qui sont tels que l'égalité

\int_{-1}^{+1}f\begin{pmatrix} x\end{pmatrix}\, dx = \sum_{k = 1}^{n}{m\left( {x_k } \right)f(x_k)}\, est assurée pour toute fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2n-1\,

Les premiers polynômes sont

P_0(x)=1\,

P_1(x)=x\,

P_2(x)=1-3x^2\,

...

Une excellente précision est garantie dès que n \ge 3 \, . Des tables permettent d'obtenir les valeurs des points et leurs poids.

Exemple

Tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) des valeurs pour n = 3\,
Numéro Abscisse Poids
1 -\sqrt{\frac{3}{5}}=-0,774596669241483\, \frac{5}{9}=0,555555555555556\,
2 0\, \frac{8}{9}=0,888888888888889\,
3 \sqrt{\frac{3}{5}}=+0,774596669241483\, \frac{5}{9}=0,555555555555556\,
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