Théorème du viriel
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Le théorème du viriel est un théorème physique qui énonce que :

Théorème du viriel – Dans un système en équilibre dynamique, l'énergie cinétique Ec égale l'opposé de la moitié de l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle Ep :
2Ec + Ep = 0.

Ce résultat est une simple conséquence du principe fondamental de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :), appliqué à un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) de masses en interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) gravitationnelle réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) (problème à N corps).

L'énergie totale E = Ec + Ep vaut donc

E = \tfrac12 E_p = - E_c.

Il peut aussi être généralisé à d'autres domaines, sous la forme

2Ec = a·Ep

a est la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de r dans l'expression de Ep ; on retrouve bien la forme précitée car a vaut -1 pour la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage...) gravitationnelle.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de...)

En dynamique à N-corps

Hypothèse
un système de N corps massifs isolé ; chaque corps ne subit donc que les seules forces gravitationnelles de ses voisins.

Le principe fondamental de la dynamique énonce que pour chaque corps i, la force gravitationnelle s'écrit :

F_i = -\sum_j G m_i m_j \frac{r_i-r_j}{|r_i-r_j|^3} = m_i \frac{d^2r_i}{dt^2}

En multipliant par ri et en sommant sur toutes les masses i, cela donne :

\sum_i F_i r_i = -\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_i m_i r_i \frac{d^2r_i}{dt^2}
-\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_i m_i r_i \frac{d^2r_i}{dt^2}

Avec :

\frac{d^2}{dt^2}(r_i^2)=2\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2+2r_i\frac{d^2r_i}{dt^2},

et sachant que (par échange des indices muets) :

\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_j(r_j-r_i)}{|r_j-r_i|^3}

d'où :

-2\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = -\sum_{i,j} G m_i m_j \left(\frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3}  + \frac{r_j(r_j-r_i)}{|r_j-r_i|^3}\right) = -\sum_{i,j} G m_i m_j \left(\frac{(r_i-r_j)^2}{|r_i-r_j|^3}\right)

il vient :

- \frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|} = \frac{1}{2}\sum_i m_i\left(\frac{d^2(r_i^2)}{dt^2} - 2\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2\right)

d'où finalement :

-\frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|} + \sum_i m_i\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{d^2}{dt^2}\left(\sum_i m_ir_i^2\right)

On reconnaît dans cette équation :

  • l'énergie potentielle
E_p = -\frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|}
  • deux fois l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale...)
E_c = \frac{1}{2} \sum_i m_i\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2
  • la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport...) seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) de l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur une droite à...)
I = \sum_i m_i r_i^2

À l'équilibre, Ï = 0 donc

Ep + 2Ec = 0

ce qu'il fallait démontrer.

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de...) quantique

Enoncé 
2 \langle T \rangle = n \langle V \rangle
avec \langle T \rangle correspond à la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur...) de l'énergie cinétique
et \langle V \rangle correspond à la valeur moyenne du potentiel s'exprimant V(x)=\lambda \cdot x^{n}
Démonstration

Montrons que \langle [H,XP] \rangle = 0 :

\langle [H,XP] \rangle = \langle \phi|HXP| \phi\rangle - \langle \phi|XPH| \phi\rangle

Or, H| \phi\rangle = E | \phi\rangle et \langle \phi|H = E \langle \phi|

Ainsi \langle [H,XP] \rangle = E \langle \phi|XP| \phi\rangle - E \langle \phi|XP| \phi\rangle (1)

Travaillons sur [H,XP] :

[H,XP] = HXPXPH = HXPXHP + XHPXPH

Alors, [H,XP] = [H,X]P + X[H,P] (2)

Exprimons [H,X] et [H,P] :

[H,X] = -[X,H] = \frac{-[X,P^2]}{2m}  = \frac{-ih \cdot P}{m}
[H,P] = [V(x),P] = ih \frac{\partial V}{\partial x} (3)

Revenons sur \langle [H,XP]\rangle = 0 :

\langle [H,XP]\rangle = 0

Alors, en utilisant (2), on trouve:

0 = \langle [H,X]P\rangle + \langle X [H,P]\rangle

De même, en utilisant (3), on trouve

\left\langle \frac{P^2}{m}\right\rangle = n \langle V\rangle

D'où le résultat espéré :

2 \langle T\rangle = n \langle V\rangle

En thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La...)

Applications

En astrophysique (L’astrophysique (du grec astro = astre et physiqui = physique) est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et l'étude des propriétés des objets de l'univers...)

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer...) du viriel est très utilisé en dynamique galactique. Il permet par exemple d'obtenir rapidement un ordre de grandeur de la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à...) totale M d'un amas d'étoiles si l'on connaît la vitesse (On distingue :) moyenne V des étoiles dans l'amas et la distance moyenne R entre deux étoiles de l'amas, qui peuvent être estimés à partir des observations :

  • Ec ~ ½MV²
  • Ep ~ - GM²/R

Il vient alors 2Ec = - Ep <=> M = RV²/G

L'énigme de la matière noire (En astrophysique, la matière noire (ou matière sombre) désigne la matière apparemment indétectable, invoquée pour rendre compte d'effets inattendus, notamment au sujet des galaxies. Différentes hypothèses ont...)

Comme il est possible par ailleurs de déterminer la masse des étoiles visibles à partir de leur luminosité (La luminosité désigne la caractéristique de ce qui émet ou réfléchit la lumière.), on peut comparer la masse totale obtenue par le théorème du viriel à la masse visible. La constatation d'une différence considérable (facteur 10 à l'échelle des galaxies (Galaxies est une revue française trimestrielle consacrée à la science-fiction. Avec ce titre elle a connu deux existences, prenant par ailleurs la...) et facteur 100 à l'échelle des amas) entre les deux grandeurs a conduit les astrophysiciens à supposer l'existence de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La...) noire, c'est-à-dire non détectable par nos instruments. La seule autre explication possible serait que la loi de la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) n'est pas valable à grande échelle (La grande échelle, aussi appelée échelle aérienne ou auto échelle, est un véhicule utilisé par les sapeurs-pompiers, et qui emporte une échelle escamotable de...), mais aucune piste en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) n'a donné de résultat à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son...).

On peut montrer que cette matière noire domine la masse des galaxies à l'extérieur du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.), dans le halo où elle s'étend jusqu'à 100-200 kiloparsecs (kpc) – contre 10-20 kpc pour la masse visible.

En thermodynamique

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