Orbitographie - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs est disponible ici.

L'orbitographie, dans le domaine de l'astronautique, est la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.

Les termes correspondants en anglais sont orbitography et orbit determination.

Deux problèmes célèbres d'orbitographie (L'orbitographie, dans le domaine de l'astronautique, est la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.) sont :

  • problème de Lambert : connaissant deux évènements ( position et date){P1,t1} et {P2,t2} déterminer le mouvement.
  • problème de Gauss : connaissant 3 positions P1,P2,P3 déterminer l'orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.), puis le mouvement.

(Histoire des sciences : Gauss en 1801 se fait connaître pour avoir retrouvé Cérès, à partir de données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement,...) parcellaires recueillies en janvier 1801).

problème de Gauss

On le traite de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil...) , avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.

Les 3 vecteurs OP1 , OP2 , OP3 définissent le plan de la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) ( avec surabondance, donc méthode des moindres carrés (La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Gauss et Legendre, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs de mesure à un modèle mathématique censé décrire ces...) pour améliorer). D'où le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient...) à ce plan , k . Soit à trouver la direction du périgée , i ; la direction orthogonale j : = i/\k complète le trièdre.

  • Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de Gibbs : le vecteur de Gauss-Gibbs, G , donne la direction de j,

avec G := OP1 ( r2-r3) + permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de...) circulaire.

Soient la demi-ellipse et sur elle , Po, le périgée , H le point (Graphie) de l'ellipse tel que OH // j , B le point du petit axe (Le plus petit diamètre d'une ellipse est son petit axe. Il traverse l'ellipse à mi-chemin entre ses foyers et perpendiculairement à la ligne qui lie...) , et A l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondants à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".

Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) θ1 :=(OPo,OP1), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type p = r1 + e . r1.cosθ1 , qui permettent , par moindres carrés de trouver p et e ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.

Remarque : l'intuition de Gauss était que 2e = ||G||/aire-triangle(P1P2P3). C'est exact ( théorème 2 de Gibbs, laissé en exercice).

Remarque : n'a été traité que le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse : si le décalage temporel atteint plus que la demi-période, il convient de faire attention à la disposition des 3 points.

  • Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) du théorème de Gibbs :

On appelle vecteur excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.) le vecteur e : = OC/a , C étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc e = -e i .

On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :

e := r/r + Lo/\v/mGM ; (Lo := moment cinétique)

et en particulier, comme vu plus haut : p-r = e.r.

Calculer G.e : il vient (p-r1)(r2-r3) + perm-cir = 0 .

FIN de démonstration.

  • théorème 2 de Gibbs :

Soit A : = r1/\r2 + permut.cir ; alors e = ||G||/||A||.

Encore une fois , pour se donner un peu d'intuition calculer les 4 cas particuliers indiqués précédemment. Puis passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) à la démonstration.

  • théorème 3 de Gibbs :

Soit enfin le vecteur-volume des aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) pondérées : V : = (r1/\r2). r3 + permut.cir .

Alors p = ||V||/||A||.

Le vérifier d'abord sur les 4 cas. Le démontrer ensuite.

  • On peut ensuite calculer le vecteur vitesse (On distingue :) en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité.

problème de Lambert

remarquable travail en 1760 : déterminer le mouvement connaissant deux évènements.

Plummer ( an introductory treatise on dynamical astronomy , 1960, ed Dover) donne la solution analytique de ce problème. Pollard (Celestial Mechanics, 1966, ed Prentice-Hall) y fait référence. Guiziou ((lien)) propose l'élégante solution suivante : se ramener au problème de Gauss.

Plus précisément, soit P1 et P3 les 2 points. On définit le point P2 par : OP2 := k ( OP1 + OP3), avec k pour le moment indéterminé. On est ainsi ramené au problème de Gauss-Gibbs. Il n'y a qu'un seul k qui donne une durée (t3-t1) pour décrire l'arc d'ellipse de P1 en P3 : on résout numériquement l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) t3-t1 = f(k) ce qui donne k et achève le problème.

Cet article vous a plus ? Partagez-le sur les réseaux sociaux avec vos amis !
Page générée en 0.067 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique