Décomposition en éléments simples - Définition
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Introduction
En algèbre, la décomposition en fractions partielles ou en éléments simples d'une fraction rationnelle est son expression sous une somme de fractions ayant pour dénominateurs des puissances de polynômes irréductibles et pour numérateurs un polynôme de degré inférieur au polynôme irréductible du dénominateur. Cette décomposition est utilisée dans le calcul intégral pour faciliter la recherche des primitives de la fonction rationnelle associée. Elle est aussi utilisée pour calculer des transformées de Laplace inverses.
Déterminer quels polynômes sont irréductibles dépend du corps de scalaires utilisé. Ainsi, si on se limite aux nombres réels, les polynômes irréductibles auront un degré de 1 ou de 2. Si les nombres complexes sont utilisés, seuls les polynômes de premier degré seront irréductibles. De même, si on se limite aux nombres rationnels, on pourra trouver des polynômes de degré supérieur à 2 irréductibles.
Mise en place
Soit P et Q deux polynômes, on veut décomposer la fraction rationnelle
On s'intéressera, dans la suite, aux fractions rationnelles (dites "irréductibles") simplifiées au maximum, c'est-à-dire dans lesquelles P et Q sont premiers entre eux et où Q est de degré supérieur ou égal à 1. On notera K un corps commutatif (en général
La première étape consiste à réduire la fraction de telle sorte que le degré du numérateur soit inférieur à celui du dénominateur. On procède pour ce faire à une division euclidienne de P par Q. On sait qu'il existe toujours un couple unique de polynômes T et R tels que
Décomposition en éléments simples dans les réels
Principes généraux
Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.
Théorème — Soit
où les polynômes
![F = \begin{array}[t]{l} T+ \frac{a_{11}}{(x-z_1)}+ \frac{a_{12}}{(x-z_1)^2}+...+\frac{a_{1n_1}}{(x-z_1)^{n_1}}\\ + \cdots\\ + \frac{a_{p1}}{(x-z_p)}+ \frac{a_{p2}}{(x-z_p)^2}+...+\frac{a_{pn_p}}{(x-z_p)^{n_p}}\\ + \frac{b_{11}x+c_{11}}{(x^2 - \beta_1 x + \gamma_1)}+ \frac{b_{12}x+c_{12}}{(x^2 - \beta_1 x + \gamma_1)^2} +...+ \frac{b_{1m_1}x+c_{1m_1}}{(x^2- \beta_1 x + \gamma_1)^{m_1}}\\ +...\\ + \frac{b_{q1}x+c_{q1}}{(x^2 - \beta_q x + \gamma_q)}+ \frac{b_{q2}x+c_{q2}}{(x^2 - \beta_q x + \gamma_q)^2} +...+ \frac{b_{qm_q}x+c_{qm_q}}{(x^2- \beta_q x + \gamma_q)^{m_q}} \end{array}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/3/329a1cfa0a6808243f83250e96760019_9ff313dd666ee1b7d9f2d55b86997886.png)
où les aij , bgl et cgl sont des nombres réels et le polynôme T est la partie entière de F.
Exemples de décompositions
Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. il ne reste donc plus qu'à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.
Existence d'un facteur irréductible du second degré
Pour décomposer
en éléments simples, observons d'abord
Le fait que x2 + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 22 − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires a, b, c tels que
Les différentes étapes sont :
- En multipliant par (x − 2) il vient :
soit :
- En posant x=2 :
soit : 7 = a.
- En posant x=0 et en utilisant que a=7, il vient :
soit : c=4.
- En posant x=1 et en utilisant que a=7 et c=4 :
soit b=3
- La décomposition en éléments simples est
Passage par les complexes
Une autre méthode consiste à faire la décomposition sur
Ainsi pour P=1 et Q = x3 + 1 :
puisque − 1,
- Pour trouver a :
D'où, pour x = − 1 :
- Par la même méthode, on trouve pour b :
- Le coefficient c est le conjugué de b. Ce n'est pas un hasard puisque b et c sont des valeurs correspondant à un couple de pôles conjugués d'un polynôme à coefficients réels
d'où
Si l'on cherche à manipuler des expressions où l'on ne rencontre que des réels, on peut alors combiner les deux derniers termes. C'est une propriété générale : dans une décomposition suivant les différentes racines de Q, la somme des deux éléments simples complexes associés à deux pôles simples conjugués donne l'élément simple réel correspondant.
- On somme alors les deux derniers termes :
- On obtient ainsi
Répétition d'un facteur irréductible du second degré
avec le facteur irréductible du second degré x2 + 1 au dénominateur, la décomposition en fractions partielles sera de la forme
La détermination de a se fait en multipliant par x + 2 et en prenant x = -2. On obtient a = 1. On peut alors écrire
En remplaçant, dans le numérateur, − x3 + 2x2 par x2( − x + 2) = (x2 + 1 − 1)( − x + 2) = (x2 + 1)( − x + 2) + x − 2, cette fraction devient :
La décomposition finale est donc
