Espace compact en relativité - Définition

Analyse physique

Le principe de relativité nous enseigne que la présence de repères privilégiés est liée à des causes physiques, des caractéristiques de l'environnement. Par exemple le repère du laboratoire est assez particulier car il est lié au fait que nous avons une énorme planète sous nos pieds.

Quelle est cette origine physique dans le cas des espaces compacts ?

Localement, tous les observateurs sont équivalents. L'espace-temps est de Minkowski, les vitesses sont relatives, la vitesse de la lumière invariante et isotrope. Le mot local est ici employé dans un sens beaucoup plus large qu'auparavant : dans un domaine même très large du moment qu'il ne fait pas le tour de l'univers (un domaine simplement connexe).

Par contre, globalement (en faisant le tour de l'univers), on constate qu'il existe un repère privilégié (ou tout au moins une vitesse privilégiée).

Quelle en est l'origine physique ?

Dans le cas de l'effet Sagnac c'était clair : c'était la rotation donc les causes (forces centripètes) et les conséquences physiques (forces centrifuges) sont évidentes.

Mais ici ?

En fait, ici cette différence est imposée artificiellement : nous avons imposé cette topologie compacte sans dire pourquoi il en serait ainsi. Par étonnant d'avoir un repère privilégié : il est imposé.

En relativité générale, c'est simple (enfin, si on veut) : la géométrie est donnée par la présence de la matière (à travers l'équation d'Einstein). Mais pour les différentes topologies, nous l'ignorons, mais cette raison doit exister (si elles sont physiquement possibles, bien sûr).

On pourrait bien sûr dire "l'univers est comme ça" et dire que sa topologie est la cause physique.

Mais :

• Ce n'est pas très satisfaisant. C'est un peu comme cette fameuse énergie sombre en cosmologie censée expliquer l'accélération des galaxies en expansion (ce sont des observations récentes). On ne connaît pas l'origine physique de cette accélération (encore discutée) et en modifiant les équations de la relativité générale on peut ajouter un terme d'accélération ayant les mêmes unités qu'une énergie. On l'appelle donc "énergie sombre" à défaut de pouvoir la décrire autrement. On aurait pu l'appeler "fluide poussant" ou "sueur de lutin" ou "poussière d'ange". Ce ne sont que des mots.
  De même ici. Dire "c'est juste comme ça" n'est pas très satisfaisant et on aimerait savoir à quelle cause physique concrète est liée cette topologie.
• Il n'y a pas de scène de théâtre. Nous l'avons vu. Pas d'arrière-plan qui pourrait imposer une certaine physique par sa présence. On a seulement des relations entre objets pouvant être décrites par le langage de la géométrie. Relations ayant des causes physiques (par exemple, en relativité générale, la présence de matière).
  La cause de cette topologie ne doit donc pas être la structure de l'espace-temps mais l'inverse. C'est la topologie qui est la conséquence de la cause physique.

Mais quelle cause ?

Notre but n'est pas de la chercher. Tout comme la relativité restreinte fait un usage abondant de la lumière mais n'est pas une théorie de la lumière (de sa nature, qu'il faut chercher du côté de l'électromagnétisme et de la théorie quantique des champs). D'autant que l'on parle ici d'une situation totalement hypothétique ! Mais on peut imaginer par exemple qu'il existe un champ, un peu comme la matière en relativité générale, qui est répartit partout et impose cette topologie.

Ce champ n'a aucun effet local, uniquement un effet global. Ainsi, il est assez difficile de relier sa présence à la topologie. On peut lier sa présence à la forme de la métrique donnée dans la section précédente (ce n'est pas très difficile) mais ce n'est pas suffisant. Comme déjà signalé, la géométrie et la topologie sont liés mais la géométrie ne suffit pas à fixer totalement la topologie, il reste une certaine liberté. A quel niveau intervient cette cause ? De manière non globale ? Sur l'ensemble de l'univers ? C'est d'autant plus difficile à formaliser que toute la physique est basée sur une description locale (par exemple en utilisant des régions infinitésimales comme déjà expliqué, c'est sous cette forme qu'est donnée la métrique ci-dessus, et de là tout l'arsenal mathématique tel que les équations dites aux dérivées partielles). Ce qui est cohérent avec la localité en relativité, conséquence de la finitude de la vitesse des signaux.

C'est ce genre de bizarrerie qui peut faire douter de la possibilité que l'univers aie une topologie compacte. Mais qui sait ? Peut-être y a-t-il un lien avec d'autres choses comme l'énergie sombre citée ci-dessus ou l'énergie du vide (un phénomène lié à la mécanique quantique) ? Voire avec des choses plus exotiques comme le champ de "dilatons" de la théorie des cordes (une théorie qui tente actuellement d'unifier la gravitation et la mécanique quantique). Et les théories quantiques sont friandes de mécanismes non locaux. La gravité quantique canonique (encore une autre théorie candidate à l'unification), par exemple, décrit l'univers de manière globale (ce qui est d'ailleurs une des difficultés de cette théorie qui a bien du mal à faire le lien avec les formulations plus traditionnelles utilisées en physique).

Enfin, ce champ impalpable sans effet local détectable a un petit goût d'éther luminifère comme celui envisagé au XIX^e siècle pour expliquer les phénomènes lumineux. Il y a toutefois une différence importante : celui-ci n'est pas là pour expliquer la propagation de la lumière ni sa vitesse mais uniquement la topologie de l'univers et aucun effet local ne peut être détecté (comme le vent d'éther recherché sans succès par les physiciens Michelson et Morley au XIX^e siècle).

Quelle que soit cette cause physique, elle expliquerait en tout cas le fait qu'il existe dans cet univers hypothétique des observateurs privilégiés tout comme dans l'effet Sagnac.