Fibré en coniques - Définition

Introduction

Un fibré en conique est une variété algébrique.

Ces surfaces apparaissent historiquement comme les solutions d'une équation cartésienne de la forme X² + aXY + bY² = P(T).

Théoriquement, on les considère comme des surfaces de Severi-Brauer. Plus précisément comme des surfaces de Chatelet. On les obtient comme revêtement de degré 2 d'une surface réglée standard.

On peut également les regarder, à isomorphisme près, comme associé à un symbole (a,P) dans le groupe cohomologique numéro 2 du corps k.

En réalité, il s'agit de surfaces très simples, dont on connaît bien les groupes de diviseurs et qui, pour les plus simples, se partagent avec lessurfaces de Del Pezzo le privilège d'être rationnelles. Toutefois de nombreux problèmes de mathématiques contemporaines demeurent ouverts, notamment, pour celles qui ne sont pas rationnelles, celui de leur unirationalité, c'est-à-dire de l'existence, sur ces surfaces d'au moins une courbe algébrique.

Une version naïve

Pour décrire correctement un fibré en coniques, il convient d'abord de réduire la forme quadratique du membre de gauche. On obtient ainsi, après un changement de variable innocent, une expression simple, du type X² − aY² = P(T).

Dans un second temps, il convient de se placer dans un espace projectif de façon à compléter la surface à l'infini.

Pour cela, on écrit l'équation en coordonnées homogènes et on exprime en premier lieu la partie visible du fibré. Pour et vérifiant X² − aY² = P(T)Z².

Cela ne suffit pas pour compléter le fibré (de façon propre et lisse), et on le recolle alors à l'infini par un changement de cartes classique :

Vu de l'infini, (c'est-à-dire au travers du changement ), le même fibré (exceptées les fibres t = 0, et t' = 0), s'écrit comme l'ensemble des solutions de X'² − aY'² = P ^* (T')Z'² où P ^* (T') apparaît naturellement comme le polynôme réciproque de P. On détaille ci dessous ce qu'il en est du changement de cartes (x':y':z').

Le fibré F_a,P

Pour aller un peu plus loin, tout en simplifiant la question, on se limite au cas où le corps k est de caractéristique nulle et on note par m un entier naturel non nul. On note P(T) un polynôme à coefficients dans le corps k, de degré 2m ou 2m − 1, mais sans racine multiple. On considère le scalaire , élément non carré du corps de base.

On définit le polynôme réciproque de P, et on note F_a,P le fibré défini de la manière suivante :

Définition :

F_a,P est la surface obtenue en recollant les deux surfaces : U et U' de d'équations X² − aY² = P(T)Z² et X'² − aY'² = P ^* (T')Z'² le long des ouverts et par les isomorphismes x' = x, , y' = y, et z' = zt^m.

On montre le résultat suivant :

Propriété fondamentale :

La surface F_a,P est une k − surface propre et lisse; l'application p définie par sur U et sur U' munit F_a,P d'une structure de fibr\'e en coniques sur P_1,k.

L'Intérêt de cette approche

Elle permet de donner d'un fibré en conique un modèle simple. Elle permet surtout d'exhiber le revêtement de ce fibré en conique comme celui d'une surface réglée standard. Le langage classique, en terme cohomologique, s'y retrouve aisément. On examinera pour s'en convaincre le problème de l'unirationalité.

Unirationnalité

La question de l'unirationalité de ces surfaces algébriques est ouvert. il s'agit de tracer sur la surface une courbe algébrique (c'est-à-dire qu'on ne s'autorise que des annulations de polynomes) dont les coefficients sont dans le corps de base.

L'existence d'une telle courbe répond à un certain type de conjectures sur les surfaces de Séveri-Brauer : voir Conjectures de Mazur. Il s'interprète en termes cohomologiques de la façon suivante :

Soit K un corps et sa clôture séparable ; le groupe de cohomologie galoisienne est le groupe de Brauer du corps K.

On note ₂Br(K) le sous-groupe de Br(K) formé des éléments tués par 2.

Si A et B sont deux éléments de K ^* , le cup produit des classes de A et B dans K ^* / K ^{* 2} = H¹(K,μ₂) caractérise la conique d'\'equation : X² − AY² − BZ² = 0 à K − isomorphisme près.

On en déduit que la conique X² − AY² − BZ² = 0 a des points rationnels dans un sur-corps L de K si et seulement si l'image de par le morphisme de restricition est triviale.

L'unirationalité du fibré se traduit dans ce langage en prenant K = k(T) où k est un corps de nombres. Généralement, on se limite dans le cas où le symbole s'écrit (a,P(T))_k(T) avec a un élément de k.

Si est une fraction rationnelle non constante, on note le morphisme de restriction associé à l'injection du corps k(T) dans le corps k(U) qui envoie T sur β(U).

On a β ^* (a,P(T))_k(T) = (a,P(β(U))_k(U).

Dans ce langage, l'unirationalité du fibré en coniques X² − aY² = P(T)Z² est bien équivalente à l'existence d'une fraction rationnelle non constante telle que (a,P(β(U))_k(U) est l'élément neutre de Br(k(U)).

En effet, cela traduit simplement l'idée qu'il existe trois fractions rationnelles X(u) ; Y(u) ; β(u) définies sur K telles que l'égalité X(u)² − aY(u)² = P(β(u)) soit vraie dans K(u)

Enfin, le corps k étant de caractéristique 0, la suite exacte de Fadeev (cf ci-dessous) permet d'exprimer la nullité d'un élément de Br(k(U)) en termes de résidus.