Norme (mathématiques) - Définition

Introduction

En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe.
La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne.

D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels de dimension finie ou infinie, appelés alors espaces vectoriels normés. Elles sont notamment très importantes en analyse fonctionnelle pour obtenir des majorations, exprimer la différentiation sur les espaces de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, calculer estimations et approximations.

Il existe une deuxième définition de la norme, utilisé en arithmétique, elle est traitée dans l'article Norme (arithmétique).

Géométrie euclidienne usuelle

Définition

Si A et B sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur est la distance AB c'est-à-dire la longueur du segment [AB]. Elle se note à l'aide d'une double barre : .

La norme, la direction et le sens sont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent donc pas du choix du représentant.

Calcul

La norme d'un vecteur peut se calculer à l'aide de ses coordonnées dans un repère orthonormé à l'aide du théorème de Pythagore.

• Dans le plan, si le vecteur a pour coordonnées sa norme s'écrit .

Si les points A et B ont pour coordonnées respectives et alors .

• Dans l'espace, si le vecteur a pour coordonnées sa norme s'écrit .

Si les points A et B ont pour coordonnées respectives et alors .

La norme d'un vecteur peut s'obtenir à partir du produit scalaire :

.

Réciproquement, le produit scalaire peut s'obtenir à partir de la norme grâce à la relation :

.

Propriétés

• La norme ne s'annule que pour le vecteur nul .
• La norme du produit par un nombre est le produit de la norme par la valeur absolue de ce nombre :

.

En particulier, tout vecteur a la même norme que son opposé : .

Exemples

En dimension finie

On considère le vecteur sur Kⁿ,

• la norme euclidienne est obtenue à partir du produit scalaire ou du produit hermitien canoniques :

et elle correspond à la norme habituellement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace usuels (la présence du 2 en indice est expliquée juste après);

• la norme 1 est donnée par la somme des modules (ou valeurs absolues) des coefficients :

et induit la distance de déplacement à angle droit sur un damier (ou dans les rues de Manhattan) ;

• plus généralement, pour tout p supérieur ou égal à 1, la norme p est donnée par la formule suivante :

,

elle identifie donc la norme euclidienne avec la norme 2, mais n'a surtout d'intérêt que dans sa généralisation aux espaces de fonctions ;

• la norme « infini » d'un vecteur est la limite de ses normes p lorsque p tend vers l'infini :

,

elle induit la distance de déplacement par les faces et par les coins dans un réseau, comme celui du roi sur l'échiquier.

Les relations d'équivalence entre ces normes sont :

L'inégalité triangulaire pour les normes p s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder.

D'autres exemples apparaissent classiquement :

• La norme sur l'espace des quaternions est la norme euclidienne appliquée à la base (1,i,j,k).
• L'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n peut être muni de normes issues d'espaces de fonctions (voir ci-dessous).

En dimension infinie

• Sur l'espace des fonctions continues définies sur un segment [a,b] de et à valeurs réelles ou complexes, on retrouve des normes p définies de manières analogues à celles sur les espaces vectoriels de dimension finie pour p supérieur ou égal à 1 :

qui permettent notamment de définir les espaces L^p.

En particulier, la norme euclidienne associée au produit scalaire ou hermitien canonique est définie par

.

La norme « infini » ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit quant à elle

et s'obtient là aussi comme limite des normes p lorsque p tend vers l'infini.

Toutes ces normes ne sont pas équivalentes deux à deux.

Par ailleurs elles s'étendent aisément aux espaces de fonctions continues sur un compact de , voire aux fonctions continues à support compact.

• Sur l'espace des fonctions dérivables à dérivée continue, on peut utiliser l'une des normes ci-dessus ou prendre en compte aussi la dérivée à l'aide d'une norme comme suit :

afin de considérer l'application dérivée de dans comme continue.

• Sur l'espace des suites bornées, la norme naturelle est la norme sup :