Orientation (mathématiques) - Définition

Orientation et notions physiques

Le choix d'une orientation de l'espace mathématique permet de distinguer les notions physiques dépendant de ce choix des notions n'en dépendant pas. Les notions physiques dépendant d'un choix de l'orientation sont essentiellement celles qui utilisent le produit vectoriel.

Le moment cinétique, le moment dynamique, le moment d'une force, le couple de forces, le rotationnel, le champ magnétique, le nord et le sud, sont des notions dépendant de l'orientation de l'espace. On appelle vecteur axial ou pseudovecteur un vecteur dépendant de l'orientation. Un tel vecteur est changé en son opposé si on change d'orientation (i.e. si on intervertit droite et gauche).

L'orthogonalité, le gradient, la divergence, le champ électrique, la vitesse d'un point mobile, son accélération, sont des notions ne dépendant pas de l'orientation de l'espace. On appelle vecteur polaire un vecteur ne dépendant pas de l'orientation. Un tel vecteur reste invariant si on change d'orientation.

On dispose des relations suivantes entre vecteurs polaires et vecteurs axiaux.

Vecteur axial = Vecteur polaire Vecteur polaire

Vecteur polaire = Vecteur polaire Vecteur axial

Vecteur axial = Vecteur axial Vecteur axial

Rotationnel(Vecteur polaire) = Vecteur axial

Rotationnel(Vecteur axial) = Vecteur polaire

Approche homologique de l'orientation

Une orientation d'un espace topologique est la donnée d'un générateur e_x du groupe H_n(X,X-x,Z) pour tout point x de X, et de sorte que, pour tout point x, il existe un voisinage compact V_x et d'un élément u de H_n(X,X-V_x,Z) dont la restriction dans H_n(X,X-y) est e_y pour tout y.

Un espace topologique est dit orientable s'il admet au moins une orientation. S'il est connexe et orientable, il admet exactement deux orientations.

Les exemples les plus simples d'espaces topologiques orientables sont les espaces discrets. Une orientation se résume essentiellement à un choix de signes + ou - associés à chaque point de l'ensemble, sans contraintes. L'ensemble des orientations d'un espace discret X est de cardinal 2^|X|.

Une variété est orientable si et seulement si l'espace topologique sous-jacent est orientable. Les définitions d'orientation se correspondent parfaitement.