Similitude (géométrie) - Définition

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Etude générale

Le cas des similitudes planes se généralise dans le cadre d'abord d'un espace euclidien, à savoir un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire <.|.>, puis d'un espace affine euclidien. Le produit scalaire donne un moyen de mesurer les distances. Ainsi, une application linéaire f sera une isométrie d'un tel espace si pour tous vecteurs x et y, = ; les isométries dans un espace euclidien forment un groupe appelé groupe orthogonal.

Une application linéaire f est une similitude (vectorielle) s'il existe un réel strictement positif k, appelé rapport de la similitude, tel que pour tous vecteurs x et y, =k. La transformation $f/\sqrt{k}$ est alors une isométrie : ainsi, toute similitude est la composée d'une isométrie et d'une homothétie : le groupe des similitudes est produit direct du groupe des isométries et du groupe des homothéties non nulles.

Dans un espace affine, le groupe affine est produit semi-direct du groupe linéaire par le groupe des translations. Dans un espace affine euclidien, les similitudes sont les éléments du sous-groupe produit semi-direct des similitudes vectorielles par les translations.

Similitudes planes

Définition

Pour toute transformation f du plan euclidien, les propositions suivantes sont équivalentes.

f multiplie les distances par un réel strictement positif k ;
f conserve les rapports de distances ;
f conserve les angles géométriques (c'est-à-dire les mesures d'angles non orientés).

Une transformation du plan qui vérifie ces propositions est appelée une similitude du plan. Le nombre k est appelé le rapport de la similitude f. Une similitude qui conserve les angles orientés est appelée similitude directe

Les similitudes conservent donc les barycentres et les cercles. Réciproquement, toute transformation bijective du plan qui conserve les cercles est une similitude (Cf. Théorème d'Abouabdillah)

Étude par les points fixes

Une similitude plane qui admet trois points fixes non alignés est l'identité du plan.
Une similitude plane qui admet deux points fixes distincts A et B est soit l'identité du plan, soit la symétrie axiale d'axe (AB).
Une similitude directe qui admet deux points fixes distincts est donc l'identité.

On peut donc classer les similitudes suivant le nombre de leurs points fixes :

l'identité, pour laquelle tous les points du plan sont fixes ;
les similitudes (indirectes) admettant une droite de points fixes : les symétries axiales (ou réflexions);
les similitudes directes avec un unique point fixe, qu'on appelle alors le centre de la similitude ;
les similitudes directes sans point fixe.

Similitudes planes directes

Mises à part les translations, toute similitude plane directe peut être décomposée en une homothétie et en une rotation de même centre.

Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée déplacement.

Toute similitude non directe (dite indirecte) est la composée d'une similitude directe et d'une réflexion.

Forme complexe

Les calculs sont adaptés au plan complexe. La traduction d'une similitude directe s'y exprime par $z' = a z + b$ , où a et b sont des complexes, a non nul. Le rapport de la similitude est alors $| a |$ , son angle $a r g (a)$ .

Cas spéciaux :

Dans le cas où $a = 1$ , la similitude est une translation.

Dans le cas où $a = - 1$ , la similitude est une symétrie centrale de centre $\Omega \left(\frac b 2\right)$ . On peut aussi la considérer comme une rotation de centre $\Omega \left(\frac b 2\right)$ et d'angle $π$ , ou encore une homothétie de centre $\Omega (\frac{b}{2})$ et de rapport $k = - 1$ .

Dans le cas où $a \in \mathbb{R*}\ -\left \{ 1 \right \}$ , alors la similitude est une homothétie de centre $\Omega \left(\frac{b}{1-a}\right)$ et de rapport $a$ .

Théorème — Toute similitude plane directe a une écriture complexe de la forme $z'=az+b, a \in \mathbb{C^*}, b \in \mathbb{C}$ .

Soient $M, N, P, Q$ quatre points ( $M \neq N$ , $P \neq Q$ ) d'affixes respectives $z M, z N, z P, z Q$ , et $M', N', P', Q'$ leur image par une similitude $S$ .

On a $M'N' = k\times MN \Longleftrightarrow |z_{N'}-z_{M'}| = k\times |z_N-z_M| \Longleftrightarrow \left|\frac{z_{N'}-z_{M'}}{z_N-z_M}\right| = k$ , $k \in \mathbb{R^*_+}$ et $\left(\overrightarrow{M'N'}, \overrightarrow{P'Q'}\right) = \left(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}\right) = \alpha$ .

Posons $a = k\times e^{i\alpha}$ . On a $\frac{z_{N'}-z_{M'}}{z_N-z_M} = a$ .

$z_{N'}-z_{M'} = az_N-az_M \Longleftrightarrow z_{M'} = az_M + b$

Théorème — Toute transformation ayant une écriture complexe de la forme $z'=az+b, a \in \mathbb{C^*}, b \in \mathbb{C}$ est une similitude.

Soient $M, N, P, Q$ quatre points ( $M \neq N$ , $P \neq Q$ ) d'affixes respectives $z M, z N, z P, z Q$ , et $M', N', P', Q'$ leur image par une transformation $S$ caractérisée par la relation $z'=az+b, a \in \mathbb{C^*}, b \in \mathbb{C}$ .

$\begin{align}M'N' &= |z_M' - z_N'| \\&= |az_M +b - az_N - b| \\&= |a| \times |z_M-z_N| \\&= |a| \times MN\end{align}$

Donc $S$ est une similitude (de rapport $| a |$ ).

De plus :

$\begin{align}\left(\overrightarrow{M'N'}, \overrightarrow{P'Q'}\right) &= arg\left(\frac{z_{Q'}-z_{P'}}{z_{N'}-z_{M'}}\right) \\&= arg\left(\frac{az_Q+b-az_P-b}{az_N+b-az_M-b}\right) \\&= arg\left(\frac{z_Q-z_P}{z_N-z_M}\right) \\&= \left(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}\right)\end{align}$

Donc $S$ est une similitude directe car elle conserve les angles orientés.

Une similitude indirecte aura une écriture complexe de la forme $z' = a \bar{z} + b$ , où a et b sont complexes, a non nul.

Définition par deux points et leurs images

Soient $A, B, A^\prime, B^\prime$ quatre points du plan tels que : $A \neq B$ et $A' \neq B'$ . Il existe une unique similitude directe $S$ tel que $S(A)=A^\prime$ et $S(B)=B^\prime$

Soient $A, B, A^\prime, B^\prime$ quatre points du plan tels que : $A \neq B$ et $A' \neq B'$ d'affixes respectives $z A, z B, z A', z B'$ .

Si $S (A) = A'$ et $S (B) = B'$ alors il existe $a$ et $b$ tels que $\begin{cases}z_{A'} = az_A + b \\ z_{B'} = az_B + b\end{cases} \Longrightarrow z_{A'} - z_{B'} = a(z_A-z_B) \Longleftrightarrow a = \frac{z_{A'}-z_{B'}}{z_A-z_B} \in \mathbb{C^*}$ car $A \neq B$ et $A' \neq B'$ et $b= z_{A'} - az_A = z_{B'} - az_B \in \mathbb{C}$ .

Donc $S$ existe et est caractérisée par la relation $a z + b$ avec $a= \frac{z_{A'}-z_{B'}}{z_A-z_B}$ et $b = z A' - a z A = z B' - a z B$ .

Le groupe des similitudes

La composée de deux similitudes f et g est une similitude, dont le rapport est le produit des rapports de f et g. Dans le cas de deux similitudes directes, on a : $S_{(\Omega,k,\theta)} \circ S_{(\Omega',k',\theta ')} = S_{(\Omega'',kk',\theta+\theta ')}$ lorsque $kk' \neq 1$ ou $\theta+\theta ' \neq 0$ . Dans le cas contraire, la composée est une translation.

La transformation réciproque d'une similitude f est une similitude, de rapport : l'inverse du rapport de f. Pour une similitude directe, on a : $S^{-1}_{(\Omega,k,\theta)} = S_{(\Omega,\frac{1}{k},- \theta)}$ .

L'ensemble des similitudes du plan, muni de la loi de composition est donc un groupe, dont deux sous-groupes sont : le groupe des similitudes directes et le groupe des isométries (dont un sous-groupe est le groupe des déplacements).

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