Théorème des quatre sommets - Définition
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Introduction
Le théorème des 4 sommets consititue un résultat remarquable de géométrie différentielle quant aux propriétés globales des courbes fermées.
Énoncé
Énoncé dans le cas le plus simple
Soit γ une courbe fermée convexe, paramétrée par sa longueur s. Soit k(s) la courbure calculée au point γ(s). Alors il existe au moins 4 paramètres si pour lesquels k'(si) = 0.
La signification géométrique de ce résultat est que la courbure est soit constante, soit possède au moins 4 extrema. On pourra en trouver une démonstration dans
Reciproque
La réciproque du théorème des quatre sommets énonce qu'une fonction continue, à valeur réelle, et ayant pour domaine de définition le cercle unité et qui par ailleurs possède 2 maxima locaux et 2 minima est la courbure d'une courbe simple et fermée du plan. La réciproque a été prouvée pour des fonctions strictement positives en 1971 par Herman Gluck, en tant que cas particulier d'un théorème plus général concernant le précalcul de la courbure sur une n-spheres. La réciproque a été finalement démontrée dans le cas général par Björn Dahlberg peu de temps avant sa mort en Janvier 1998 et publiée à titre posthume. La preuve de Dahlberg utilise principalement l'indice, argument que l'on retrouve par ailleurs dans certaine démonstration du théorème fondamental de l'algèbre.
Cas général
Le théorème des 4 sommets à d'abord été démontré pour les courbes convexes (c'est-à-dire à courbure positive) en 1909 par Syamadas Mukhopadhyaya. Sa preuve utilise le fait qu'un point de la courbe est un extremum de la fonction courbure si et seulement si le cercle osculateur en ce point possède un contact en 4 points avec la courbe (dans le cas général, le cercle osculateur possède 3 points de contact avec la courbe)). Le théorème des 4 sommets a été démontré dans le cas général par Adolf Kneser en 1912.
