Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème de géométrie algébrique qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.
Énoncé
Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes
par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de
. On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, ie l'ensemble des idéaux maximaux de A.
Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.
Théorème 1 Soient K un corps, A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.
De façon équivalente: si A est un corps, alors c'est une extension algébrique finie de K. Ce théorème, dont la preuve est relativement longue, a plusieurs conséquences immédiates.
Thèorème 2 (Nullstellensatz faible) Supposons que K est algébriquement clos. Alors la fonction
Autrement dit un point de Kn s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à n indéterminées sur K quand K est algébriquement clos.
Soit
un idéal maximal. D'après le théorème 1,
est une extension finie de K ; il est donc égal à K car un corps algébriquement clos n'a que lui-même comme extension finie. Pour tout
, on note
la classe de Xi dans le quotient. Alors Xi − ai appartient à M. Donc M contient l'idéal
. Comme celui-ci est maximal, on a l'égalité. L'unicité de
résulte du fait que si
est un autre n-uplet vérifiant la même propriété, alors ai − bi = (Xi − bi) − (Xi − ai) appartient à M, et est donc nul car sinon ce serait un scalaire inversible dans M.
Théorème 3 (Existence des zéros) Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre I de K[X1,...,Xn], il existe un point de Kn racine de tout élément de I.
Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X2 + 1 est maximal dans R[X] puisque le quotient de R[X] par M est un corps isomorphe à C, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans r.
Soit I un tel idéal. Il est contenu dans un idéal maximal M. Il suit du théorème 2 que
et donc
est une racine commune des éléments de I.
Théorème 4 Soit I un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical
de I est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant I.
Quitte à remplacer A par A / I, on peut supposer que I = 0. L'inclusion du nilradical dans l'intersection des maximaux est immédiate. Il reste à montrer l'inclusion inverse. Soit f appartenant à l'intersection des maximaux de A. Si f n'est pas nilpotent, on peut considérer la partie multiplicative S de A constituée des puissances entières strictement positives de f. La localisation Af = S− 1A est encore une algèbre de type fini sur K car elle est isomorphe à A[T] / (Tf − 1). Soient M' un idéal maximal de Af et M son image réciproque dans A par l'homomorphisme canonique de localisation
. Alors
est injectif. Par le théorème 1, Af / M' est une extension finie de K, donc entier sur A / M. C'est alors un exercice facile de voir que A / M est un corps, et donc M est maximal. Par sa construction, M ne contient pas f (celui-ci étant inversible dans Af, M' serait égal à l'idéal unité sinon). Ce qui aboutit à une contradiction puisque f est supposé appartenir à tous les idéaux maximaux de A.
Si P est un polynôme
, les zéros de P dans Kn sont les points
tels que
.
Corollaire (Nullstellensatz fort) Supposons K algébriquement clos. Soient I un idéal de
et Z(I) l'ensemble des zéros communs des polynômes P dans I. Si f est un polynôme dans
qui s'annule sur Z(I), alors une puissance de f appartient à I.
Pour tout idéal maximal
contenant I,
est un point de Z(I), donc annule f. Il suit que f appartient à M. Par le théorème 4, f appartient au radical de I, donc une puissance de f appartient à I.
Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste:
Tout idéal maximal M de
(K non nécessairement clos) est engendré par n polynômes.
Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de
ne peut être engendré par strictement moins que n éléments.
![K[X_1,\dots,X_n]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/8/8fb0fc6d41f2ead31891063330737834_c48a4293771ae3962c837de8592de48b.png)
![\begin{array}{lcll} \phi : & \mathbb{K}^n & \to & \text{Spm }\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n] \\ & (a_1,\dots,a_n) & \mapsto & I(X_1-a_1,\dots, X_n-a_n) \end{array}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/960b52b92dabd3e3ba7cf581bff2a0cd_1c9bd3a2d6fc700ffd40c4ac5fa6a0b0.png)
![M\in\text{Spm }\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/3/32378ceeda91aea7b066fd66eff03603_1ea9719085f75a70d93534fc298392da.png)
![\mathbb{K}[X_1,\ldots ,X_n] / M](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/acfe906e2d8b70965cc13455b289a238_d8e93a26b90aa33ee7932fdfae8e051d.png)
![\in K[X_1,\ldots, X_n]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/d39fc3e130390d50e41a8ff35644069b_d9102ec015579e4cfa246b7e10e9793d.png)
![K[X_1,\ldots ,X_n]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/3/3ad06980b73ce22a39ee73cb65a65198_cd23f0f7d04a147c9b277c68e8e1b03f.png)
![K[X_1,\ldots ,X_n]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/3/3ad06980b73ce22a39ee73cb65a65198_cd23f0f7d04a147c9b277c68e8e1b03f.png)
