Théorème du minimax de von Neumann - Définition

Comprendre la rationalité

Dès lors que le modèle de von Neumann prétend définir quelle est la « meilleure » stratégie à adopter dans un jeu à somme nulle, deux questions se posent naturellement : ce modèle est-il une aide efficace à la décision, la solution qu'il fournit doit-elle être appliquée en pratique (le modèle est-il prescriptif) ? Et par ailleurs le modèle reflète-t-il le comportement qu'appliquent les acteurs dans la réalité (le modèle est-il descriptif) ?

Cette section s'intéresse à la première question, qu'on peut immédiatement compléter : si la réponse est « oui », si on s'accorde à dire que viser le maximin est un acte « rationnel », en quel sens l'est-il ? Le modèle néo-classique de rationalité (l'homo œconomicus visant à maximiser son utilité) suffit-il à fonder les normes à suivre dans les prises de décision modélisées par des jeux ? On peut raisonnablement défendre que non, mais c'est souvent en pensant la situation plus complexe des jeux à somme non nulle (notamment le fameux dilemme du prisonnier). Qu'en est-il si on se borne aux jeux concernés par le théorème du minimax ?

Si on en croit Kenneth Binmore, la méthode du maximin est bien celle à suivre : face à un bon joueur, il n'y a rien de mieux à faire que choisir la stratégie mixte recommandée par le théorème de von Neumann. Il faut tout de même formuler deux mises en garde : la recommandation ne doit pas être suivie face à un adversaire peu compétent ; si sa stratégie est faible, il ne faut pas manquer de s'éloigner de la recherche du maximin pour exploiter cette faiblesse (comme l'écrit Binmore, « il serait irrationnel de refuser de prendre un risque calculé lorsque les probabilités sont suffisamment en votre faveur »). Par ailleurs, la recherche du maximin n'est recommandable que sous l'hypothèse de jeu à somme nulle ; dans la plupart des situations réelles elle est donc inexploitable. D'autres auteurs parviennent aux mêmes conclusions en accordant plus ou moins de place à la première mise en garde : Morton D. Davis, par exemple, souligne que s'éloigner des recommandations du théorème, lorsque les deux joueurs s'y aventurent simultanément, c'est jouer risqué et plonger dans l'inconnu mais ce sera tout de même gagnant pour l'un ou l'autre puisque le jeu est à somme nulle – or décider si on préfère la sécurité d'un gain assuré ou le piquant de la prise de risque, est une simple question de goût personnel.

Se pose alors la question philosophique de construire une justification de cette prescription : la nature humaine étant ce qu'elle est, comment expliquer que ce choix soit le bon ? Posée comme question concernant la totalité des jeux non coopératifs, cette interrogation fait l'objet d'une littérature très abondante, mais qui le plus souvent ne s'arrête pas à considérer spécifiquement le cas très particulier du minimax et des jeux à somme nulle. On peut toutefois relever un article de Mathias Risse qui consacre une section à une relecture critique de l'argumentation de Morgenstern et von Neumann « prouvant » la pertinence opératoire de la stratégie du maximin. Pour parvenir à cette preuve, Morgenstern et von Neumann proposaient une expérience de pensée : supposer qu'Yvette joue après Xavier, informée de la stratégie mixte que celui-ci a choisie mais pas du coup que le hasard a ensuite défini – sous cette hypothèse, Xavier serait inconséquent de ne pas adopter la stratégie du maximin. On considère ensuite la situation inverse (Xavier informé de la stratégie mixte d'Yvette) et ceci fonde le choix d'Yvette de viser le minimax. Pour Risse, cette argumentation paraît bien faible et il en conclut que « von Neumann et Morgenstern ne réussissent pas à prouver que les stratégies du minimax sont les seules rationnelles pour un jeu à deux personnes et à somme nulle ».

On peut ici mentionner un autre problème philosophique, apparemment sans relation avec le précédent : celui du sens à donner aux stratégies mixtes lorsque le jeu n'est pas répété. Si Xavier et Yvette ne s'affrontent qu'une fois pierre-feuille-ciseaux, à quoi bon pour Xavier suivre à la lettre les conseils de von Neumann et tirer au sort préalablement s'il jouera « pierre », « feuille » ou « ciseaux » ? Il lui suffit de décider de jouer « ciseaux » : à supposer qu'Yvette ne le connaisse pas d'assez près pour identifier d'éventuels biais psychologiques, son intention est alors tout aussi opaque pour elle et conduira au même résultat. Le théorème du minimax ne semble rien apporter.

Les deux problématiques se retrouvent dans une intéressante interprétation de l'équilibre de von Neumann comme limite, due à Julia Robinson (1950). Sans entrer dans les détails techniques, en voici le principe décrit sous forme récurrente : on suppose que Xavier et Yvette vont s'affronter pendant un grand nombre de parties. Lors de leur première rencontre, ils choisissent chacun arbitrairement une stratégie pure, peu importe par quelle méthode. Une fois les N premières parties jouées, pour déterminer son coup à la N+1-ème partie, Xavier emploie la méthode suivante : il considère la liste des N coups déjà joués par son adversaire et reconstitue empiriquement à partir de celle-ci la stratégie mixte qu'Yvette emploie vraisemblablement – pour éclairer cette construction par l'exemple, si dans les 10 premiers coups d'une partie de « pierre-feuille-ciseaux » Yvette a joué 3 fois « pierre », 3 fois « feuille » et 4 fois « ciseaux », Xavier postule comme vraisemblable l'emploi par Yvette de la stratégie mixte . Il détermine alors la stratégie pure qui maximiserait ses chances de gain contre une joueuse jouant selon (dans l'exemple ce serait « pierre ») et joue ce coup. Yvette fait son choix de façon symétrique. Alors, quand N tend vers l'infini, il y a toutes chances que les stratégies mixtes empiriques des deux joueurs convergent vers celles de l'équilibre du minimax. Dans ce cadre conceptuel, on parvient à éclairer le maximin sans dépasser la théorie néo-classique de la rationalité : à chaque partie Xavier (ou Yvette) choisit son coup par la simple maximisation d'une utilité. De même, l'argumentation de Morgenstern et von Neumann critiquée par Risse reprend du sens : certes chaque joueur ne connaît pas avant de jouer quelle est la stratégie mixte choisie par son adversaire, mais il n'est pas loin de la connaître puisqu'il dispose de la répartition empirique obtenue par mémoire du passé.