Ultralimite - Définition

Introduction

En mathématiques, une ultralimite est une construction géométrique qui associe à une suite d'espaces métriques X_n un espace métrique qui est leur "limite". Cette construction est une généralisation de la convergence au sens de Hausdorff, et utilise un ultrafiltre pour éviter d'avoir à considérer des sous-suites convergentes.

Pour la limite inductive d'une suite d'ultraproduits, voir Ultraproduit.

Ultrafiltres

Rappelons qu'un ultrafiltre ω sur l'ensemble des entiers est une mesure finiment additive , allant de l'ensemble des parties (c'est-à-dire de l'ensemble de tous les sous-ensembles de ) vers l'ensemble {0,1}, telle que . Un ultrafiltre ω sur estt non-trivial si, pour tout sous-ensemble fini , on a ω(F)=0.

Ultralimite d'espaces métriques pointés

Soit ω un ultrafiltre (non trivial) sur . Soit (X_n,d_n) une suite d'espaces métriques pointés par des points de base p_n∈X_n.

On dira qu'une suite , où x_n∈X_n, est admissible si la suite des nombres réels (d_n(x_n,p_n))_n est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif C tel que . Notons l'ensemble de toutes les suites admissibles. On voit facilement (à l'aide de l'inégalité triangulaire) que pour deux suites admissibles et , la suite (d_n(x_n,y_n))_n est bornée et donc qu'elle est ω-convergente vers . Définissons alors sur l'ensemble une relation de la manière suivante : pour , on a si Il est facile de voir que est une relation d'équivalence sur

L'ultralimite de la suite (X_n,d_n, p_n) relativement à ω est un espace métrique défini de la manière suivante :

(en tant qu'ensemble).

Pour deux classes d'équivalence (relativement à ) contenant les suites admissibles et , on pose

Il n'est pas difficile de voir que est bien définie (c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas des représentants et choisis), et que c'est une distance sur  ; on note l'ultralimite de la suite.

Le cas des espaces uniformément bornés

Supposons que (X_n,d_n) soit une suite d'espaces métriques de diamètre uniformément bornés, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel C>0 tel que diam(X_n)≤C pour tout (autrement dit, pour tout n et tout couple , on a d_n(x_n,y_n) < C). Alors, pour tout choix de points de base p_n dans X_n, toutes les suites sont admissibles. Dans ce cas, le choix des points de base n'a pas à être spécifié pour définir une ultralimite, et l'ultralimite dépend seulement de (X_n,d_n) et de ω ; on écrit alors .

Limite d'une suite relativement à un ultrafiltre

Soit ω un ultrafiltre non-trivial sur . Si est une suite de points d'un espace métrique (X,d) et si x ∈ X, on dit que la suite est ω-convergente vers le point x, appelé la ω -limite de x_n, et noté , si pour tout ε > 0 on a :

Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer :

• si une suite est ω-convergente, sa ω-limite est unique.
• si au sens usuel, . (pour que cette propriété soit vraie, il est crucial que l'ultrafiltre soit non-trivial.)

Une caractérisation importante des espaces compacts est que toute suite est ω-convergente (ce résultat est vrai en fait même pour des espaces topologiques quelconques, en généralisant la définition) ; comme on l'a dit, la ω-limite est d'ailleurs nécessairement unique. En particulier, toute suite bornée de nombres réels admet une ω-limite, puisque tout intervalle fermé de est compact.

Cônes asymptotiques

Les cônes asymptotiques d'espaces métriques forment une importante classe d'ultralimites. Soit (X,d) un espace métrique, ω un ultrafiltre (non trivial) sur , et p_n ∈ X une suite de points de base. Alors l'ultralimite (relativement à ω) de la suite s'appelle le cône asymptotique de X et se note . On choisit souvent la suite des points de base constante : p_n=p pour un p fixé de X ; dans ce cas le cône asymptotique ne dépend pas de p et est noté ou simplement .

Cette construction joue un rôle important dans la théorie géométrique des groupes, car les cônes asymptotiques (ou plus précisément leurs types topologiques et leurs types lipschitziens) fournissent des invariants quasi-isométriques des espaces métriques en général et des groupes à nombre fini de générateurs en particulier. Les cônes asymptotiques se sont également révélés utiles dans l'étude des groupes relativement hyperboliques et de leurs généralisations.