Ultralimite - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, une ultralimite est une construction géométrique qui associe à une suite d'espaces métriques Xn un espace métrique qui est leur "limite". Cette construction est une généralisation de la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de Hausdorff, et utilise un ultrafiltre pour éviter d'avoir à considérer des sous-suites convergentes.

Pour la limite inductive d'une suite d'ultraproduits, voir Ultraproduit.

Ultrafiltres

Rappelons qu'un ultrafiltre ω sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des entiers \mathbb N est une mesure finiment additive \omega:2^{\mathbb N}\to \{0,1\}, allant de l'ensemble des parties 2^{\mathbb N} (c'est-à-dire de l'ensemble de tous les sous-ensembles de \mathbb N ) vers l'ensemble {0,1}, telle que \omega(\mathbb N)=1. Un ultrafiltre ω sur \mathbb N estt non-trivial si, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) fini F\subseteq \mathbb N, on a ω(F)=0.

Ultralimite d'espaces métriques pointés

Soit ω un ultrafiltre (non trivial) sur \mathbb N . Soit (Xn,dn) une suite d'espaces métriques pointés par des points de base pnXn.

On dira qu'une suite (x_n)_{n\in\mathbb N}, où xnXn, est admissible si la suite des nombres réels (dn(xn,pn))n est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif C tel que  d_n(x_n,p_n)\le C. Notons \mathcal A l'ensemble de toutes les suites admissibles. On voit facilement (à l'aide de l'inégalité triangulaire) que pour deux suites admissibles \mathbf x=(x_n)_{n\in\mathbb N} et \mathbf y=(y_n)_{n\in\mathbb N}, la suite (dn(xn,yn))n est bornée et donc qu'elle est ω-convergente vers \hat d_\infty(\mathbf x, \mathbf y):=\lim_\omega d_n(x_n,y_n). Définissons alors sur l'ensemble \mathcal A une relation \sim de la manière suivante : pour \mathbf x, \mathbf y\in \mathcal A , on a \mathbf x\sim\mathbf y si \hat d_\infty(\mathbf x, \mathbf y)=0. Il est facile de voir que \sim est une relation d'équivalence sur \mathcal A.

L'ultralimite de la suite (Xn,dn, pn) relativement à ω est un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre...) (X_\infty, d_\infty) défini de la manière suivante :

X_\infty=\mathcal A/\sim (en tant qu'ensemble).
Pour deux classes d'équivalence (relativement à \sim) [\mathbf x], [\mathbf y] contenant les suites admissibles \mathbf x=(x_n)_{n\in\mathbb N} et \mathbf y=(y_n)_{n\in\mathbb N}, on pose
d_\infty([\mathbf x], [\mathbf y]):=\hat d_\infty(\mathbf x,\mathbf y)=\lim_\omega d_n(x_n,y_n).

Il n'est pas difficile de voir que d_\infty est bien définie (c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas des représentants \mathbf x et \mathbf y choisis), et que c'est une distance sur X_\infty ; on note (X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n, p_n) l'ultralimite de la suite.

Le cas des espaces uniformément bornés

Supposons que (Xn,dn) soit une suite d'espaces métriques de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...) uniformément bornés, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) C>0 tel que diam(Xn)≤C pour tout n\in \mathbb N (autrement dit, pour tout n et tout couple (x_n,y_n)\in X_n^2, on a dn(xn,yn) < C). Alors, pour tout choix de points de base pn dans Xn, toutes les suites (x_n)_n, x_n\in X_n sont admissibles. Dans ce cas, le choix des points de base n'a pas à être spécifié pour définir une ultralimite, et l'ultralimite (X_\infty, d_\infty) dépend seulement de (Xn,dn) et de ω ; on écrit alors (X_\infty, d_\infty)=\lim_\omega(X_n,d_n).

Limite d'une suite relativement à un ultrafiltre

Soit ω un ultrafiltre non-trivial sur \mathbb N . Si (x_n)_{n\in \mathbb N} est une suite de points d'un espace métrique (X,d) et si xX, on dit que la suite est ω-convergente vers le point (Graphie) x, appelé la ω -limite de xn, et noté x=\lim_\omega x_n, si pour tout ε > 0 on a :

\omega\{n: d(x_n,x)\le \epsilon \}=1.

Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer :

  • si une suite est ω-convergente, sa ω-limite est unique.
  • si x=\lim_{n\to\infty} x_n au sens usuel, x=\lim_\omega x_n . (pour que cette propriété soit vraie, il est crucial que l'ultrafiltre soit non-trivial.)

Une caractérisation importante des espaces compacts est que toute suite est ω-convergente (ce résultat est vrai en fait même pour des espaces topologiques quelconques, en généralisant la définition) ; comme on l'a dit, la ω-limite est d'ailleurs nécessairement unique. En particulier, toute suite bornée de nombres réels admet une ω-limite, puisque tout intervalle fermé de \mathbb R est compact.

Cônes asymptotiques

Les cônes asymptotiques d'espaces métriques forment une importante classe d'ultralimites. Soit (X,d) un espace métrique, ω un ultrafiltre (non trivial) sur \mathbb N , et pn ∈ X une suite de points de base. Alors l'ultralimite (relativement à ω) de la suite (X, \frac{d}{n}, p_n) s'appelle le cône asymptotique de X et se note Cone_\omega(X,d, (p_n)_n)\,. On choisit souvent la suite des points de base constante : pn=p pour un p fixé de X ; dans ce cas le cône asymptotique ne dépend pas de p et est noté Cone_\omega(X,d)\, ou simplement Cone_\omega(X)\,.

Cette construction joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) un rôle important dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) géométrique des groupes, car les cônes asymptotiques (ou plus précisément leurs types topologiques et leurs types lipschitziens) fournissent des invariants quasi-isométriques des espaces métriques en général et des groupes à nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) fini de générateurs en particulier. Les cônes asymptotiques se sont également révélés utiles dans l'étude des groupes relativement hyperboliques et de leurs généralisations.

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