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Polyèdre régulier

Un polyèdre est dit régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, dont cinq sont convexes et étaient connus de Platon. On appelle parfois polyèdres réguliers uniquement les solides de Platon.

Les solides de Platon

L'entourage de Platon les connaît en 400 av. J.-C. et Euclide les étudie dans ses Élements.

Il existe cinq solides de Platon :

Le tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) régulier

  • constitué de 4 faces en triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) équilatéral
  • possède 4 sommets et 6 arêtes

Le cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq...)

  • constitué de 6 faces carrées
  • possède 8 sommets et 12 arêtes

L'octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.) régulier

  • constitué de 8 faces en triangle équilatéral
  • possède 6 sommets et 12 arêtes

Le dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.)

  • constitué de 12 faces pentagonales
  • possède 20 sommets et 30 arêtes

L'icosaèdre (Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.)

  • constitué de 20 faces en triangle équilatéral
  • possède 12 sommets et 30 arêtes

Les centres des faces d'un solide de Platon sont les sommets d'un solide de Platon. Cette correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) est interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le...) parmi les tétraèdres ; elle échange cubes et octaèdres d'une part, dodécaèdres et icosaèdres d'autre part.

.

Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection ; pour lui, comme il l'explique dans son dialogue (Le dialogue est une communication entre deux ou plusieurs personnes ou groupes de personnes. Il doit y avoir au minimum un émetteur et un récepteur. Une donnée émise, c'est le message. Un code, c'est la langue et/ou le...) "Timée", le tétraèdre est le symbole du feu (Le feu est la production d'une flamme par une réaction chimique exothermique d'oxydation appelée combustion.), l'octaèdre celui de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air...), l'icosaèdre celui de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.), le cube celui de la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus...) et le dodécaèdre celui de l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier.

Les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) modernes rattachent ces 5 solides réguliers à la notion de groupe.

Les polyèdres de Kepler-Poinsot

Outre les cinq solides de Platon, on peut construire quatre autres solides réguliers, deux dont les faces sont des polygones réguliers étoilés (ou croisés) : les solides de Kepler, et deux ayant des faces régulières, mais qui peuvent s'interpénétrer : les solides de Poinsot. les solides

  • Le petit dodécaèdre étoilé a été découvert par Kepler vingt-deux siècles après Platon, en 1619. Il a 12 faces qui sont des pentagones étoilés, 12 sommets et 30 arêtes. En chaque sommet se réunissent trois faces.
  • Kepler a aussi découvert le grand dodécaèdre étoilé, formé des mêmes douze pentagones étoilés, qui a aussi 30 arêtes mais seulement 20 sommets.
  • Poinsot découvre le grand dodécaèdre en 1809. Ses 12 faces sont des pentagones réguliers, il a 12 sommets et 30 arêtes.
  • Il découvre enfin le grand icosaèdre, formé de 20 triangles équilatéraux, et qui possède 12 sommets et 30 arêtes.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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