Injection (mathématiques)
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Une application f : X\rightarrow Y est dite injective ou est une injection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au plus un élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément y de Y admet au plus un antécédent x (par f).

De manière équivalente, f est dite injective si pour tous x et x' dans X, f(x) = f(x') implique x = x'.

Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle \mathbb R, alors une fonction injective f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R a un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) qui intersecte toute droite horizontale en au plus un point (Graphie).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle

Soit f une application de E dans F. f est dite injective si et seulement si

\forall (x,y) \in E^2,\, \left(x \neq y \,\Longrightarrow\, f(x) \neq f(y) \right)

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances (Les vacances (au pluriel, du latin vacare, « être sans ») sont une période de temps (de quelques jours, semaines, voire mois) pendant laquelle une personne cesse son activité...) où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel (Un hôtel est un établissement offrant un service d’hébergement payant, généralement pour de courtes périodes. Dans sa définition de l’hôtel, l’Agence Mondiale de...). Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).

  • Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
  • L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
  • Ces desiderata ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est bijective.

Image:surinbijection.jpg

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est injective, puisque pour tous nombres réels arbitraires x et x', si 2x + 1 = 2x' + 1, alors 2x = 2x', soit x = x'.

D'un autre côté, la fonction g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par g(x) = x2 n'est pas injective, parce que (par exemple) g(1) = 1 = g(−1).

D'autre part, si nous définissons la fonction h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R par la même relation que g, mais avec l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des...) restreint à l'ensemble des réels positifs, alors la fonction h est injective. Une explication est que, pour des réels positifs arbitraires donnés x et x', si x2 = x'2, alors |x| = |x'|, ainsi x = x'.

Propriétés

  • Une fonction fX → Y est injective si et seulement si X est l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) ou il existe une fonction gY → X telle que g o f  soit égale à l'application identique (En mathématiques, une application identique ou fonction identique f est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours la valeur qui est utilisée comme argument,...) sur X.
  • Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.
  • Si g o f est injective, alors f est injective.
  • Si f et g sont toutes les deux injectives, alors g o f est injective.
  • fX → Y est injective si et seulement si, pour toutes fonctions données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) g,hW → X, lorsque f o g = f o h, alors g = h. En d'autres termes, les fonctions injectives sont précisément les monomorphismes de la catégorie des ensembles.
  • Si fX → Y est injective et A est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des éléments...) de X, alors f −1(f(A)) = A. Ainsi, A peut être retrouvé à partir de l'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : .) de f(A).
  • Si fX → Y est injective et A et B sont des sous-ensembles de X, alors f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
  • Toute fonction hW → Y peut être décomposée comme h = f o g pour une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) f et une surjection (Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel que f(x) = y. On dit alors que tout élément y de Y...) g convenables. Cette décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action de facteurs...) est unique à un isomorphisme près, et f peut être considérée comme la fonction inclusion de l'image de h, h(W) dans un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée Y de h.
  • Si f : X → Y est une fonction injective, alors Y a au moins autant d'éléments que X, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) des cardinaux.
  • Si on note E \leq F la propriété " il existe une injection de l'ensemble E dans l'ensemble F", alors \leq vérifie les propriétés d'une relation d'ordre sur les cardinaux (on ne peut pas dire néanmoins que \leq est une relation, car elle est définie sur une classe et non sur un ensemble, en vertu du Paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une...) de Russell). La réflexivité (La réflexivité est la propriété d'une relation binaire qui met en relation tout élément avec lui-même.) et la transitivité ont été traitées au cours des exemples précédents, et l'antisymétrie est l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) du Théorème de Cantor-Bernstein (Le théorème de Cantor-Bernstein, également appelé théorème de Cantor-Schröder-Bernstein, est un théorème de la théorie axiomatique des ensembles. Il est nommé en l'honneur des mathématiciens Georg Cantor, Felix Bernstein et...).
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