Angle solide
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En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...), en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...) et en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général...), un angle solide (En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimensionnel.) est l'analogue tridimensionnel de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) plan ou bidimensionnel.

L'angle plan est le rapport de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de l'arc sur le rayon. L'angle solide est dans l'espace le rapport de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et...) d'une partie d'une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...) sur le rayon au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...). Son unité est le stéradian noté sr.

On le note souvent Ω (oméga majuscule). Il mesure la surface sur laquelle un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale....) se projette radialement sur une sphère de rayon unité.

Calcul

Pour calculer l'angle solide sous lequel on voit un objet à partir d'un point (Graphie), on projette l'objet sur une sphère de rayon R centrée en ce point.

Si la surface que cette projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) fait sur la sphère est S, l'angle solide sous lequel l'observateur voit l'objet est par définition :

\Omega\,=\,\frac{S}{R^2}.

La notion d'angle solide intervient en particulier dans la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la luminosité (La luminosité désigne la caractéristique de ce qui émet ou réfléchit la lumière.).

Quelques exemples

Calotte sphérique dont le diamètre apparent est 2θ.
Calotte sphérique dont le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le...) apparent est 2θ.

L'angle solide sous lequel on voit, du centre de la sphère, une calotte sphérique de surface S dont le diamètre apparent s'étend sur un angle de 2θ s'écrit :

\Omega\,=\,\frac{S}{R^2}=\,2\pi\cdot \left(1 - \cos\theta \right)

Les angles θ = π/3 et θ = 2π/3 délimitent un découpage de la sphère en quatre surfaces égales de π stéradians. Ainsi, l'espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de...) est vu sous un angle solide de 4π sr.

  • D'un point de la surface terrestre on ne peut voir que la moitié de l'espace, c'est-à-dire une demi-sphère ou un hémisphère, soit un angle solide de 2π sr.
  • Un trièdre formé par deux murs perpendiculaires et le sol décrit un angle solide de π/2 stéradians, soit un huitième de sphère.
  • Entre la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) de San Diego, en Californie, dans l'hémisphère Nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) et celle de Sydney, en Australie (L’Australie (officiellement Commonwealth d’Australie) est un pays de l’hémisphère Sud dont la superficie couvre la plus grande partie de...), dans l'hémisphère Sud (L'hémisphère sud ou hémisphère austral est la moitié du globe terrestre qui s'étend entre l'équateur et le pôle Sud. En astronomie, ce terme désigne la partie du...), il y a la moitié de la surface terrestre.
  • Entre le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) polaire et le tropique (Les tropiques sont la partie géographique du globe limitée en latitude par les deux tropiques : le tropique du Cancer dans l'hémisphère nord et le tropique du Capricorne dans l'hémisphère sud. Les noms de...) du Cancer (Le cancer est une maladie caractérisée par une prolifération cellulaire anormalement importante au sein d'un tissu normal de l'organisme, de telle...) dans l'hémisphère Nord il y a le quart de la surface terrestre, soit un angle solide de π stéradians.
  • Les angles solides sous lesquels on voit une pièce d'un centime d'euro à 1,80 m de distance, la Lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474 km. La...) et le Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de type naine...) sont très proches (≈ 6.10-5 sr).
  • Un " carré de ciel " de 0,923… radians de côté se voit sous un angle solide d'un stéradian.
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