Vitesse d'une onde
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Une onde est une perturbation qui se déplace dans un milieu. Il est possible de lui associer deux vitesses d'onde.

Dans un milieu homogène, la propagation dans une direction donnée d'une onde monochromatique, ou sinusoïdale, se traduit par une simple translation de la sinusoïde à une vitesse (On distingue :) appelée vitesse de phase ou célérité (La célérité (traditionnellement notée c) est la vitesse de propagation d'un phénomène ondulatoire. Elle varie selon les...). Les ondes plus compliquées peuvent généralement être considérées comme des sommes de sinusoïdes de différentes fréquences ou pulsations (voir Analyse spectrale). Si la vitesse de phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) ne dépend pas de la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot fréquence...), l'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de...) résultante subit aussi une translation globale sans déformation. Dans le cas contraire, les composantes se dispersent. On peut alors souvent identifier des groupes d'ondes dont le maximum se déplace à une vitesse de groupe différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de...) des célérités des composantes.

Vitesse de phase

La vitesse de phase d'une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans...) est la vitesse à laquelle la phase de l'onde se propage dans l'espace. Si l'on sélectionne n'importe quel point (Graphie) particulier de l'onde (par exemple la crête), il donnera l'impression de se déplacer dans l'espace à la vitesse de phase. La vitesse de phase s'exprime en fonction de la pulsation de l'onde ω et du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'onde k :

v_p = \frac{\omega}{k}\,

En effet, soit une onde monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la couleur n'est formée que d'une fréquence ou, par extension de sens, d'une bande très étroite de fréquence au...) \psi = \psi_{0}cos(\omega t - kx+ \phi_{0})\,, plaçons nous sur une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) d'onde, i.e. l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des points ayant la même valeur de \psi\,, par conséquent la même valeur de la phase \phi\,, c'est le plan de phase. Le plan de phase \phi\, est en x\, au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) t\, :

\phi = \omega t - kx+ \phi_{0}\,

et en x+dx\, au temps t+dt\, :

\phi = \omega (t+dt) - k(x+dx)+ \phi_{0}\,

d'où 0 = \omega dt - k dx\,

i.e. v_{\phi}=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}\,

Cas des ondes électromagnétiques

Dans ce cas la vitesse de phase, égale à une constante c dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), diminue dans un milieu transparent. Cette diminution est caractérisée par l'indice du milieu :

n = \frac{c}{v_{\phi}}\,

De plus, le milieu est dispersif : cet indice dépend du nombre d'onde (donc de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) d'onde), ce qui conduit à introduire la notion de vitesse de groupe.

La vitesse de phase d'une onde électromagnétique peut être supérieure à la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est une constante physique, et...) dans le vide dans certaines circonstances, mais cela n'implique pas un transfert d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) ou d'information à une vitesse supérieure à celle de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement liée à la...). En effet, la vitesse de phase est une mesure fictive : comme pour une corde, on a l'impression d'un mouvement le long de la corde alors que tous les déplacements lui sont perpendiculaires. La vitesse de phase ne mesure donc le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture...) d'aucune quantité physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect ou...) réelle.

Vitesse de groupe

D'après ce qui précède, la vitesse de phase d'une onde monochromatique est égale au rapport de sa pulsation à son nombre d'onde. Considérons le cas le plus simple de deux ondes superposées de pulsations voisines et d'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) unité (les phases qui n'interviennent pas sont ignorées) :

f(t,x) = \cos(\omega_1 t - k_1 x) + \cos(\omega_2 t - k_2 x)\,

Selon la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...), une somme de cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être...) se transforme en un produit de cosinus :

f(t,x) =  2 \cos{1 \over 2}[(\omega_2 - \omega_1)t - (k_2 - k_1)x] \cos{1 \over 2}[(\omega_2 + \omega_1)t - (k_2 + k_1)x]

Il apparaît un phénomène de battement (En acoustique, le battement est une interférence entre deux sons de fréquences légèrement différentes, laissant percevoir des pulsations. En acoustique musicale,...) dans lequel une sinusoïde de caractéristiques proches de celles des deux composantes, est modulée par une sinusoïde de plus basse fréquence dont la célérité est {\omega_2 - \omega_1} \over {k_2 - k_1}. Cette quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer...) représente la vitesse de groupe. Lorsque les deux fréquences de départ sont voisines, celle-ci est approximativement égale à

v_g = \frac {\mathrm d\omega} {\mathrm dk}

Dans le cas général de plus de deux ondes monochromatiques superposées, cette vitesse de groupe concerne une enveloppe plus compliquée qu'une sinusoïde.

La fonction qui exprime la pulsation en fonction du nombre d'onde définit la relation de dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel les différentes...). Lorsque la pulsation est directement proportionnelle au nombre d'onde, ce qui signifie que la vitesse de phase est indépendante de la pulsation, alors la vitesse de groupe est égale à cette vitesse de phase commune. Dans le cas contraire, l'enveloppe de l'onde se déforme au cours de la propagation.

Cas des ondes électromagnétiques

Dans la cas d'une onde électromagnétique, la vitesse de phase et la vitesse de groupe sont liées par la relation :

v_g v_p = c^2\,

avec c vitesse de la lumière dans le vide.

La dispersion due à la vitesse de groupe est un effet important pris en compte pour la propagation d'informations par fibres (Une fibre est une formation élémentaire, végétale ou animale, d'aspect filamenteux, se présentant généralement sous forme de faisceaux.) optiques.

La vitesse de groupe est généralement présentée comme la vitesse à laquelle l'énergie ou l'information est transportée par une onde. Cette description est généralement valide, bien qu'il soit tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de même possible de réaliser des expériences dans lesquelles la vitesse d'impulsions laser (Un laser est un appareil émettant de la lumière (rayonnement électromagnétique) amplifiée par émission stimulée. Le terme laser provient de...) envoyées dans des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) spécifiques soit supérieure à la vitesse de transmission du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la nuit des temps par les hommes...).

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