Formule de Weizsäcker
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La formule de Weizsäcker, appelée aussi formule de Bethe-Weizsäcker, est une formule donnant une valeur approximative de l'énergie de liaison nucléaire B caractérisant la liaison entre les nucléons qui constituent le noyau des atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est...). Voir un résumé dans Modèle de la goutte liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.).

Son nom provient des inventeurs de la formule, à savoir les physiciens allemands Carl Friedrich von Weizsäcker et Hans Bethe.

Expression

B = a_vA - a_sA^\frac{2}{3} - a_c Z^2 A^{-\frac{1}{3}} - a_a\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_pA^{-\frac{1}{2}}
Courbe représentant l'énergie de liaison par nucléon en fontion du nombre de nucléons dans le noyau.
Courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) représentant l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) de liaison par nucléon (Le terme nucléon désigne de façon générique les composants du noyau atomique, i.e. les protons et les neutrons qui sont tous deux des baryons. Le nombre de nucléons par atome est généralement noté « A », et...) en fontion du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de nucléons dans le noyau.

B est l'énergie de liaison, A est le nombre de masse (Le nombre de masse (A) est le terme employé en chimie et en physique pour représenter le nombre de nucléons du noyau d'un atome.) (ou nombre de nucléons contenus dans le noyau A = Z+N), Z est le nombre de protons, N est le nombre de neutrons.

Les valeurs des constantes utilisées sont (en MeV) :

  • av = 15,6
  • as = 17,2
  • ac = 0,7
  • aa = 23,6
  • ap = 11,2

Cette formule permet de retrouver les résultats expérimentaux ci-contre.

Explication des différents termes

La formule de Bethe-Weizsäcker fait apparaitre cinq termes :
\,B=E_v+E_s+E_c+E_a+E_p.

  • Les deux premiers sont dûs au modèle de la goutte liquide du noyau.
  • Le troisième exprime la répulsion électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.) entre les protons.
  • Les deux dernières sont d'ordre quantique.

Pour expliquer ces différents termes, il faut supposer que le noyau est sphérique, de rayon R0. Et comme il est compact (son volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) est proportionnel au nombre de nucléons A), alors R0 est proportionnel à A1 / 3.

Énergie de volume

Pour expliquer le premier terme, on peut utiliser une analogie avec un gaz parfait (Le gaz parfait est un modèle thermodynamique décrivant le comportement de tous les gaz réels à basse pression p.) pour lequel l'énergie interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme...) est proportionnelle au nombre de particules constituant le gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume...). Ainsi, on pose que cette énergie de volume Ev est proportionnelle à A :
\,E_v = a_v A.

Énergie de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...)

La notion de tension (La tension est une force d'extension.) de surface sur une goutte liquide peut être utilisée pour interpréter le second terme. En effet, les nucléons à la surface du noyau sont en contact avec moins de nucléons que ceux du centre. L'énergie de liaison en est donc diminuée. Ainsi on introduit l'énergie de surface Es, proportionnelle à la surface du noyau :
\,E_s = -a_s A^{2/3}.

Répulsion électrostatique

Les protons étant tous chargés positivement, il se repoussent mutuellement. Cela participe à diminuer l'énergie de liaison par un terme de répulsion électrostatique Ec. Cette énergie peut être calculée de la manière suivante :

Le travail dW nécessaire pour déplacer une couche sphérique chargée, d'épaisseur dr de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier...) à une distance r du centre vaut :
dW=q(V(\infty)-V(r))q est la charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour...) de la couche, et V(r) est le potentiel électrique (Le potentiel électrique est l'une des grandeurs définissant l'état électrique d'un point de l'espace. Son unité est le volt.) à la distance r du centre.
En posant \rho = \frac{Ze}{\frac{4}{3}\pi R_0^3} la densité volumique de charge (En électrostatique, la densité volumique de charge, souvent notée ρ, est la quantité nette de charge électrique par unité de volume. Dans le système international, son unité est le coulomb par...), on a q = ρ4πr2dr. De plus, la charge dans la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...) de rayon r vaut \rho \frac{4}{3}\pi r^3, et donc le théorème de Gauss (Plusieurs théorèmes sont dus à Carl Friedrich Gauss :) donne :
V(r)=\rho \; \frac{4}{3} \pi r^3  \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r}=\frac{\rho r^2}{3 \epsilon_0} et V(\infty) = 0.
C'est-à-dire dW = -\frac{4\pi \rho^2}{3\epsilon_0}r^4dr.
En intégrant ce travail de 0 à R0, on obtient E_c=-\frac{4\pi \rho^2}{15\epsilon_0}R_0^5=-\frac{3Z^2e^2}{20\pi \epsilon_0\ R_0}.

Finalement on obtient : E_c=-a_c\frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}}

Énergie d'asymétrie (L'asymétrie est l’absence de symétrie, ou son inverse. Dans la nature, les crabes violonistes en sont des exemples spectaculaires.)

La répulsion électrostatique étant en compétition avec l'interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en...) forte pour stabiliser le noyau, les noyaux lourds ont besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes...) d'un surplus de neutrons afin que cette interaction forte contrebalance l'effet de la répulsion électrostatique. Il y a donc une asymétrie du nombre de neutrons par rapport au nombre de protons. Cela n'a, a priori, aucun autre effet sur l'énergie de liaison que ceux qui ont été étudiés plus haut. En réalité, un effet quantique va jouer un rôle : les nucléons se trouvent sur des niveaux d'énergie, ce qui fait qu'un surplus de neutrons va augmenter leur énergie. On obtient alors que l'effet sur l'énergie de liaison s'écrit : E_a=-a_a\frac{(N-Z)^2}{A}.

Énergie d'appariement

Un deuxième effet quantique joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à...) un rôle dans l'énergie de liaison : les nucléons ayant un spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et sa charge électrique. Comme la...) demi-entier ont tendance à s'apparier deux à deux, pour se grouper préférentiellement en nombre pair. Ainsi, un nombre impair de neutrons ou de protons sera moins stable.
Une formule empirique permet de rendre compte de cet effet en posant une énergie d'appariement (ou de parité) Ep ayant différentes valeurs selon qu'il y ait un nombre pair ou impair de neutrons ou de protons :
E_p=a_p\left\{ \begin{matrix} +A^{-\frac{1}{2}}  & \mbox{cas pair-pair}\;\;\;\;\;\;\;\; \\ 0  & \mbox{cas pair-impair}\;\;\;\; \\ -A^{-\frac{1}{2}}  & \mbox{cas impair-impair} \end{matrix}\right.

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