Condition de diffraction pour un cristal
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Lorsque l'on bombarde un cristal avec un rayonnement dont la longueur d'onde est de l'ordre de la distance inter-atomique il se produit un phénomène de diffraction. Les conditions de diffraction sont les directions dans lesquelles il y a de l'intensité.

Les rayonnements peuvent être électromagnétiques — pour cet ordre de grandeur de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière.), ce sont des rayons X — ou bien des particules ayant une énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au...) adaptée, de l'ordre de 100 keV pour des électrons, ou bien des dizaines de MeV pour des neutrons.

Diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est pas complètement transparent ; le phénomène peut être interprété par la diffusion d'une...) sur un cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que cet usage diffère quelque peu de la définition scientifique de ce mot. Selon l'Union internationale de...)

Considérons un monocristal bombardé de rayons X. Les rayons X frappent chaque atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est...) avec une phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau...) (ils parcourent un chemin optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) plus ou moins long).

Les rayons X, comme toutes les ondes électromagnétiques, provoquent un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le...) du nuage (Un nuage est une grande quantité de gouttelettes d’eau (ou de cristaux de glace) en suspension dans l’atmosphère. L’aspect d'un nuage dépend de la lumière qu’il reçoit,...) électronique par rapport au noyau dans les atomes ; ces oscillations induites provoquent une réémission d'ondes électromagnétiques de même fréquence ; ce phénomène est appelé diffusion Rayleigh (La diffusion Rayleigh est un mode de diffusion des ondes (par exemple électromagnétiques ou sonores) dont la longueur d'onde est très supérieure à la taille des particules...).

Voir aussi l'article détaillé Interaction rayonnement-matière.

Les ondes n'ont pas toutes la même phase lorsqu'elles frappent les atomes. En un point (Graphie) de l'espace, les ondes électromagnétiques proviennent de tous ces atomes et subissent encore un déphasage dû à la différence de chemin optique. Du fait de l'organisation (Une organisation est) régulière du cristal, dans certains endroits de l'espace, les ondes s'annulent (interférences destructives), et dans d'autres, les ondes s'additionnent et l'on a une intensité positive. Ces lieux d'intensité positive sont alignés par rapport au " point d'impact " du faisceau incident, on parle donc de " directions de diffraction ".

On peut retrouver ces directions de diffraction grâce à différentes lois équivalentes.

Loi de Bragg (Lorsque l'on bombarde un cristal avec un rayonnement dont la longueur d'onde est de l'ordre de la distance inter-atomique il se produit un phénomène de diffraction. Les conditions de diffraction sont...)

La loi de Bragg est la loi régissant la diffraction des radiations sur un cristal. Elle fut découverte par W.H. et W.L. Bragg vers 1915.

Énoncé

Selon la déviation 2θ, on a des interférences constructives (figure de gauche) ou destructives (figure de droite)
Selon la déviation 2θ, on a des interférences constructives (figure de gauche) ou destructives (figure de droite)

Pour cette loi, on considère des plans imaginaires contenant des atomes et perpendiculaires au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) de diffraction (c'est-à-dire à la bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle.) entre le faisceau incident et la direction à laquelle on s'intéresse). Mais il existe aussi d'autres lois décrivant la diffraction.

Si λ est la longueur d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière. Une onde...) de la radiation (Le rayonnement est un transfert d'énergie sous forme d'ondes ou de particules, qui peut se produire par rayonnement électromagnétique (par exemple : infrarouge) ou par une désintégration (par...) et d est la distance interréticulaire du plan cristallin diffractant, alors les directions 2θ de l'espace dans lesquelles on aura des pics d'intensité (le 0 pour 2θ étant la direction du faisceau incident) vérifient :

2 d \sin \theta = n \cdot \lambda

avec :

  • d = distance interréticulaire, c'est-à-dire distance entre deux plans cristallographiques ;
  • θ = demi-angle de déviation (moitié de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) entre le faisceau incident et la direction du détecteur) ;
  • n = ordre de diffraction (nombre entier) ;
  • λ = longueur d'onde des rayons X.

Lorsque le rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) n'est pas électromagnétique mais particulaire, la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition »...) Rayleigh n'est pas due au déplacement du nuage atomique mais résulte du principe d'incertitude d'Heisenberg : comme la particule est bien localisée (elle interagit avec l'électron), l'incertitude sur son impulsion, donc notamment sa direction, est grande, il y a donc une diffusion isotrope. Pour bien comprendre ceci, il faut également bien comprendre la notion de dualité onde-particule (« Les objets quantiques sont dingues, mais au moins, ils sont tous dingues de la même manière. Richard Feynman » ).

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...)

démonstration de la loi de Bragg
démonstration de la loi de Bragg

On peut retrouver la loi de Bragg de manière simple. Considérons deux rayons parallèles frappant deux atomes situés sur une même droite perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et...) à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...). Le chemin supplémentaire parcouru par le rayon " profond " est 2d·sin(θ), puisque c'est ce trajet supplémentaire suit les côtés opposés à un angle θ de triangles rectangles d'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse égale la racine carrée de la somme des carrés des deux...) d. Les interférences sont constructives si la différence de chemin introduit un déphasage multiple de 2π, c'est-à-dire si le chemin supplémentaire est un multiple de λ.

Analogie

Interférence par une lame d'air : analogie avec la loi de Bragg
Interférence (En mécanique ondulatoire, on parle d'interférences lorsque deux ondes de même type se rencontrent et interagissent l'une avec l'autre. Ce phénomène...) par une lame d'air : analogie avec la loi de Bragg

On image souvent cette loi en considérant que les plans cristallographiques sont des miroirs semi-transparents ; en effet, la formule est strictement identique aux interférences par une lame d'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de pressuriser les cabines des avions et autres...) que l'on obtient avec un interféromètre de Michelson. Cependant, il faut bien comprendre que les plans cristallographiques ne sont qu'une vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) de l'esprit, et que dans les faits, les ondes sont diffusées individuellement par les atomes.

Condition de Laue

Le rayonnement incident a un vecteur d'onde \vec{k}.

Si l'on s'intéresse à l'intensité diffusée dans une direction de l'espace \vec{u}, cela revient à s'intéresser aux ondes dont le vecteur d'onde est

\vec{k'} = || \vec{k} || \cdot \vec{u}

en effet, puisque la diffusion est élastique, la longueur d'onde reste la même, donc les vecteurs d'onde ont la même norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus...).

La maille élémentaire du cristal est définie par trois vecteurs \vec{e_1}, \vec{e_2} et \vec{e_3} qui forment par ailleurs une base de l'espace.

On appelle \vec{K} le vecteur de diffusion

\vec{K} = \vec{k'} - \vec{k}.

La condition de diffraction de Laue s'exprime ainsi :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si les produits scalaires de \vec{K} avec les vecteurs (\vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3} sont entiers, c'est-à-dire
si \vec{K} \cdot \vec{e_1}, \vec{K} \cdot \vec{e_2} et \vec{K} \cdot \vec{e_3} sont des nombres entiers.

On note en général[1]

\vec{K} \cdot \vec{e_1} = h
\vec{K} \cdot \vec{e_2} = k
\vec{K} \cdot \vec{e_3} = l

les indices (hkl) sont caractéristiques de la tâche (ou du pic) de diffraction. Ce sont aussi les indices de Miller d'un plan cristallographique, ce qui permet de retrouver le loi de Bragg.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Bloch

On peut définir une autre base, appelée base réciproque (La réciproque est une relation d'implication.), par[2]

\vec{e^*_1} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3
\vec{e^*_2} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1
\vec{e^*_3} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2

Comme \vec{e}_1, \vec{e}_2 et \vec{e}_3 dépendent de la maille élémentaire, les vecteurs de la base réciproque dépendent eux aussi de la maille élémentaire ; ils sont une caractéristique du cristal.

La condition de diffraction peut alors s'énoncer de la manière suivante[3] :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si \vec{K} a des coordonnées entières dans la base réciproque

soit

\vec{K} = h \cdot \vec{e^*_1} + k \cdot \vec{e^*_2} + l \cdot \vec{e^*_3}, h, k et l étant des entiers.

Les indices (hkl) sont les mêmes que pour la condition de Laue, et mènent donc également à la loi de Bragg.

Les points ayant des coordonnées entières dans le repère (O, \vec{e^*_1}, \vec{e^*_2}, \vec{e^*_3}) forment un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet), on appelle nœud (node)...) appelé réseau réciproque. La condition de diffraction est donc :

il y a diffraction dans la direction \vec{u} si l'extrémité de \vec{K} est sur un nœud du réseau réciproque.

C'est le théorème de Bloch.

Applications

Lorsque la longueur d'onde de la radiation est de l'ordre de grandeur de la distance inter-atomique dans le cristal, les directions de diffraction sont suffisamment éloignées pour être distinguables, et suffisamment rapprochées pour figurer sur le même cliché. La loi de Bragg est utilisée entre autres pour :

  • la microscopie (La microscopie est l'observation d'un échantillon (placé dans une préparation microscopique plane de faible épaisseur) à travers le microscope. La microscopie permet de rendre visible des...) électronique en transmission ;
  • l'analyse dispersive en longueur d'onde ;
  • la diffraction de rayons X
  • la diffraction de neutrons

Note

  1. il existe deux manières de définir le vecteur d'onde ; soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est 2π/λ et on a alors \vec{K} \cdot \vec{e_1} = 2 \pi \cdot h, \vec{K} \cdot \vec{e_2} = 2 \pi \cdot k et \vec{K} \cdot \vec{e_3} = 2 \pi \cdot l ce qui ne change rien au résultat
  2. si l'on choisit de prendre 2π/λ pour la norme du vecteur d'onde, alors \vec{e_m} \cdot \vec{e_m^*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot (\vec{e_m}\cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}) = 2 \pi où (m, n, p) est une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession de ces n objets.) circulaire de (1, 2, 3)
  3. cette condition est la même quelle que soit la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la norme du vecteur d'onde
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