Sigmoïde (mathématiques)
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La fonction sigmoïde
La fonction sigmoïde
La fonction sigmoïde avec λ = 5.
La fonction sigmoïde avec λ = 5.

Définition

En mathématiques, la fonction sigmoïde est définie par :

f(x)=\frac{1}{1 +  e^{-\lambda x}}

Elle est symétrique par rapport au point (Graphie) (0; ½) : c'est son point d'inflexion, qui vérifie \tfrac{\mathrm d^2f}{\mathrm dx^2} = f''(x) = 0. Elle tend vers 0 quand x tend vers -\infty et vers 1 quand x tend vers +\infty (cf. asymptote).

Elle est souvent utilisée dans les réseaux de neurones.

Alternative

Une alternative est la fonction tangente hyperbolique qui a la même forme mais dont les asymptotes horizontales sont en -1 et 1.

\tanh(x) = \frac{1}{1 + e^{-2x}} - \frac{1}{1 + e^{2x}}

En chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations communs ou proches.)

La variation de pH d'une solution lors de réactions acido-basiques suit ce schéma. Dans ce cas, le potentiel d'acidité pKa est atteint quand :

\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2} = 0

Avec y(t) la fonction sigmoïde.

Interprétation générale concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une matière première fraîche...)

Les propriétés de la fonction sigmoïde s'expliquent par celles de sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...). En effet celle-ci est égale à

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =  \frac{\lambda e^{-\lambda x}}{(1 +  e^{-\lambda x})^2},

qui peut se transformer en

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \lambda \cdot ( y ) \cdot (1-y).

y varie de 0 à +1. Cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) différentielle signifie que la variation de y en fonction de x (souvent le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) d'ailleurs en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...), chimie ou marketing) est proportionnelle à la fois à l'avancement de y depuis 0 et au chemin qui reste à parcourir pour arriver à 1, proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) affectée d'un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace...) λ. Ceci est la forme la plus simple (simpliste peut-on dire) du modèle de contagion (La contagion est le fait de transmettre une maladie de façon directe ou indirecte.) consumériste optimiste concernant un produit nouveau utilisé dans les études de marché : au début (temps = moins l'infini) aucun foyer ne possède de machine à laver, puis un foyer l'achète, c'est le démarrage du processus avec une proportion " epsilon " de la population. Le modèle fait les nombreuses hypothèses suivantes : le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de ménages est très très grand, les ménages se rencontrent aléatoirement à raison de " lambda " rencontres par jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par...), la géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη"...) ne joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à...) pas dans ces rencontres, la transformation est à sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) unique (" non-équipé " vers " équipé ", jamais le contraire), le résultat d'une rencontre est le suivant : si les deux sont équipés rien ne change, si aucun n'est équipé rien ne change, si un ménage est équipé et l'autre non, alors ce dernier, convaincu par le témoignage des heureux possesseurs achète aussitôt une machine. À la fin (temps = +l'infini), tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le monde (Le mot monde peut désigner :) est équipé, la proportion de ménages équipés est 100%=1. Ce modèle est aussi celui de la contagion dans la bande dessinée les Schtroumpfs noirs, ainsi que dans le film La Nuit des morts-vivants (quand un vivant est mordu par un mort-vivant, il meurt puis se relève en mort-vivant, mais un mort-vivant ne redevient pas vivant-simple sous une quelconque action). C'est le modèle basique de la contagion en épidémiologie. Le calibrage de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) se fait par l'intermédiaire de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) λ qui est égale à 4 fois la pente de la courbe au point d'inflexion. La dérivée seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...) possède aussi quelques propriétés : elle peut se transformer en

\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} = \lambda^2 \cdot ( y ) \cdot (1-y) \cdot (1-2y).

ce qui vérifie bien qu'un point d'inflexion est le point-milieu y=½. Les autres points d'inflexion sont rencontrés aux extrémités de la courbe (y=0 et y=1), il s'agit plutôt de points asymptotiques de rayon infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose...).

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